Produto de PG

por lucastnagel Seg 19 Out 2015, 14:22

Calcule o produto dos n primeiros termos de uma PG, conhecendo-se sua soma S e a soma S' dos seus inversos

por **fantecele** Qua 23 Jan 2019, 16:04

PG, primeiro termo "a"e razão "q":
a, aq, aq², aq³, ..., aq^(n-1)

Calculando S e S' em função dos elementos da PG:

$\small \\S=a+aq+aq^2+aq^3+...+aq^{n-1}\\S=a.(1+q+q^2+q^3+...+q^{n-1})\\S=a.\left ( \frac{q^n-1}{q-1} \right )$

$\small \\\\\\S'=\frac{1}{a}+\frac{1}{aq}+\frac{1}{aq^2}+\frac{1}{aq^3}+...+\frac{1}{aq^{n-1}}\\S'=\frac{1}{a}.\left ( 1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q^3}+...+\frac{1}{q^{n-1}} \right )\\S'=\frac{1}{a}.\left ( \frac{\left ( \frac{1}{q} \right )^n-1}{\frac{1}{q}-1} \right )=\frac{1}{a}.\left ( \frac{\frac{1-q^n}{q^n}}{\frac{1-q}{q}} \right )=\frac{1}{a}.\left ( \frac{q}{q^n} \right ).\left ( \frac{1-q^n}{1-q} \right )\\S'=\frac{1}{aq^{n-1}}.\left ( \frac{q^n-1}{q-1} \right )$

$\small \\\frac{S}{S'}=\frac{a.\left ( \frac{q^n-1}{q-1} \right )}{\frac{1}{aq^{n-1}}.\left ( \frac{q^n-1}{q-1} \right )}\\\frac{S}{S'}=\frac{a}{\frac{1}{aq^{n-1}}}\\\frac{S}{S'}=a^2.q^{n-1}$

Calculando o produto (P) dos termos da PG:

$\small \\P=a.aq.aq^2.aq^3...aq^{n-1}\\P=a^n.q^{1+2+3+...+(n-1)}\\P=a^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}\\P^2=a^{2n}.q^{n.(n-1)}\\P^2=(a^2)^n.(q^{n-1})^n\\P^2=(a^2.q^{n-1})^n\\P^2=\left ( \frac{S}{S'} \right )^n\\|P|=\left ( \frac{S}{S'} \right )^{\frac{n}{2}}$

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