Semicírculos

por Bruno Barreto Seg 15 Nov 2010, 21:58

O desenho abaixo representa uma sequência infinita de semicírculos tais
Semicírculos Imagemrm

que o raio do primeiro vale 1 cm e o raio dos seguintes vale a metade do raio do
semicírculo anterior.Sobre a soma das áreas desses infinitos semicírculos é verdade afirmar que:
a) Cresce indefinidamente.
b) É um número irracional.
c) Vale 8.
d) Vale 1/4 .
e) É menor do que 1.

por **Elcioschin** Seg 15 Nov 2010, 23:26

S1 = pi*1²/2 ----> S1 = pi/2

S2 = pi*(1/2)²/2 ----> S2 = pi/8

S3 = pi*(1/4)²/2 ----> S3 = pi/32

Temos uma PG decrescente infinita ----> a1 = pi/2 ----> q = 1/4

S = a1/(1 - q) ----> a1 = (pi/2)/(1 - 1/4) ----> S = (pi/2)/(3/4) ----> S = 2*pi/3 ----> Irracional

por **adriano tavares** Seg 15 Nov 2010, 23:31

Olá, Bruno Barreto.

As áreas dos semicírculos tem a seguinte sequência:

$A_1=\frac{\pi }{2}$ , $A_2=\frac{\pi }{8}$ , $A_3=\frac{\pi }{32}$ ....

Essa sequência forma um progressão geométrica de razão igual 1/4. A soma dessas áreas é dada por:

$S=\pi(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{128}+\frac{1}{512}+...)$

Sendo os termos entre os parênteses um progressão geométrica infinita teremos:

$S_1=\frac{a_1}{1-q}\Rightarrow S_1=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}\Rightarrow S_1=\frac{2}{3}$

$S=\pi .S_1 \Rightarrow S=\frac{2}{3}\pi$

Note que essa soma não cresce indefidamente, o seu maior valor é $\frac{2}{3}\pi$

Sendo $\pi$ um número irracional,conclui-se que a alternativa correta é a (b)

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