Semicírculos ortogonais

Alguns problemas de geometria, relativos a cálculos de áreas, podem ter diversas soluções, como por exemplo:

a) Uso de Cálculo Integral (que não é objetivo deste local no fórum)
b) Uso de Geometria Analítica
c) Uso de Geometria Plana ou Espacial
d) Uso de raciocínio puro, sem efetuar cálculos.

O problema a seguir poderia se encaixar em qualquer das categorias acima. Como resolvê-lo?

Tem-se dois semi-círculos de 30 cm de diâmetro.
Um deles tem o seu centro no ponto P(15, 0) e seu diâmetro OA está sobre o eixo X.
O outro tem o centro no ponto Q(0, 15) e seu diâmetro OB sobre o eixo Y.
A interseção de ambos gera uma "pétala".
A pétala está pintada de uma certa cor e as demais áreas entre os semi-círculos e os eixos estão pintadas de branco.
Qual é área da parte branca da figura?

Se algum usuário do fórum puder acrescentar uma figura eu ficaria agradedecido (sou péssimo em desenho)

Olá,Elcioschin.

Adriano

Agradeço pela presteza na colocação do desenho, porém há necessidade de correção no mesmo:

Como ninguém se pronunciou vou mostrar, primeiramente a solução agébrica:

Seja M (15, 15) o ponto de contato das duas semi-circunferência.

Área do quadrante OPMQO ----> Sq = pi*r²/4 ----> Sq = pi*15²/4 ----> Sq = 225*pi/4

Área do triângulo OPM ----> St = OP*PM/2 ----> St = 15*15/2 ----> St = 225/2

Área da pétala = 2*área de meia pétala:

Sp = 2*(Sq - St) ----> Ap = 2*(225*pi/4 - 225/2) ----> Ap = 225*pi/2 - 225

Área da parte branca:

Ab = 2*pi*r²/2 - 2*Ap ----> Ab = pi*15² - 2*(225*pi/2 - 225) ----> Ab = 450

O curioso desta questão é que, devido a serem áreas curvas de semicircunferências, poderíamos imaginar que na resposta deveria aparecer o pi.

Porém, o cálculo mostra claramente que estávamos enganados na nossa suposição.

A partir, então, deste resultado, agora vem o desafio maior: como resolver a questão sem efetuar cálculo algébricos.

Já tenho duas soluções diferentes: uma delas, e a melhor, é do Adriano Tavares, um bamba em geometria.

Vou aguardar mais um pouco para os usuários tentarem!

up

A pedido do Elcioschin estou postando animações de duas soluções gráficas que foram orientadas por ele. A segunda é sugerida pelo Adriano Tavares.

A segunda

Elcioshin, eu gostaria de saber o seguinte.
Quando você disse que ia calcular Área do quadrante OPMQO ----> Sq = pi*r²/4 ----> Sq = pi*15²/4 ----> Sq = 225*pi/4


Se ele é um quadrado, a área dele é de 15x15= 225cm²


Eu sei como se calcula os semi círculos, a duvida é pq você calculou esse quadrado como se fosse uma metade de um círculo pela metade. no caso 1/4 de um círculo.

leandro3000

Eu nomeei errado o quadrante. O correto é:

Área do quadrante OPMO ----> pi*r²/4 ----> Sq = pi*15²/4 ----> Sq = 225*pi/4.

Assim, não tem nada a ver com quadrado.

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Acho que o leandro quis dizer isso..