[UERJ]Semicírculos

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 08:53

[UERJ]Um corte transversal em um molusco permite visualizar, geometricamente, uma sequência de semicírculos.O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.
[UERJ]Semicírculos File

Admita que as medidas dos raios (AB,BC,CD,DE,EF,FG,...) formem uma progressão tal que (AB/BC)=(BC/CD)=(CD/DE)=(DE/EF)=...
Assim, considerando AB=2, a soma AB+BC+CD+DE+... será equivalente á:

(a)2+√3
(b)2+√5
(c)3+√3
(d)3+√5

por **Willian Honorio** Dom 18 Fev 2018, 15:29

Supondo que haja um erro na digitação do enunciado ou na questão, cuja soma pedida seria AB+BC+CD+DE+......; a resposta seria:

$PG(AB,BC,CD,....)\\BC^{2}=AB.CD=2.CD\\BD=BC+CD\\BC+CD=2\\CD=2-BC\\BC^{2}=2(2-BC)\\BC^{2}+2BC-4=0\Leftrightarrow BC=-1+\sqrt{5}\\-1+\sqrt{5}+CD=2\\CD=3-\sqrt{5}\\\\PG(2,-1+\sqrt{5},3-\sqrt{5},...)\\q=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\S=AB+BC+CD+DE+...\\\lim_{ }S=\frac{2}{1-\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )}$

Desenvolvendo esta última expressão, facilmente chegamos a:

$\boxed{AB+BC+CD+DE+...=3+\sqrt{5}}$

Agora, caso não haja nenhum erro:

$q=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\\\DE=CD.q\\DE=(3-\sqrt{5})\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )\\DE=-4+2.\sqrt{5}\\\\AB+BC+CD+DE=AB+BD+DE=4-4+2.\sqrt{5}=2.\sqrt{5}$

Tal que a resposta não coincide com nenhuma das alternativas propostas.

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 16:09

Willian Honorio escreveu:Supondo que haja um erro na digitação do enunciado ou na questão, cuja soma pedida seria AB+BC+CD+DE+......; a resposta seria:

$PG(AB,BC,CD,....)\\BC^{2}=AB.CD=2.CD\\BD=BC+CD\\BC+CD=2\\CD=2-BC\\BC^{2}=2(2-BC)\\BC^{2}+2BC-4=0\Leftrightarrow BC=-1+\sqrt{5}\\-1+\sqrt{5}+CD=2\\CD=3-\sqrt{5}\\\\PG(2,-1+\sqrt{5},3-\sqrt{5},...)\\q=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\S=AB+BC+CD+DE+...\\\lim_{ }S=\frac{2}{1-\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )}$

Desenvolvendo esta última expressão, facilmente chegamos a:

$\boxed{AB+BC+CD+DE+...=3+\sqrt{5}}$

Agora, caso não haja nenhum erro:

$q=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\\\DE=CD.q\\DE=(3-\sqrt{5})\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )\\DE=-4+2.\sqrt{5}\\\\AB+BC+CD+DE=AB+BD+DE=4-4+2.\sqrt{5}=2.\sqrt{5}$

Tal que a resposta não coincide com nenhuma das alternativas propostas.

Não consegui continuar aquele cálculo do limite, poderia me ajudar?

lim S_N=[a₁/(1-q)]
lim S_N=[2/(1-[(-1+√5)/2])
lim S_N=[2/(1-(-0,5+0,5√5))]
lim S_N=[2/(1,5+0,5√5)]

por **Willian Honorio** Dom 18 Fev 2018, 16:26

Claro, desculpe por não ter colocado o cálculo. Observe:

$S_{n}=\frac{2}{1-\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )}=\frac{2}{1+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}\\\\=\frac{2}{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{\left (3-\sqrt{5} \right )(3+\sqrt{5})}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$

por biologiaéchato Dom 18 Fev 2018, 16:44

Willian Honorio escreveu:Claro, desculpe por não ter colocado o cálculo. Observe:

$S_{n}=\frac{2}{1-\left ( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right )}=\frac{2}{1+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}\\\\=\frac{2}{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{\left (3-\sqrt{5} \right )(3+\sqrt{5})}=\frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5}=3+\sqrt{5}$

Sem problemas, é que eu tenho "um pouco" de dificuldade nisso, hehehe.

Perfeita sua resolução amigo, muito obrigado!