(Uefs 2015.2) Questão difícil

Relembrando a primeira mensagem :


Se as coordenadas dos pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) satisfazem o sistema de
equações
,
então P2 pode ser qualquer ponto da região, representada na figura, cuja área é
A) 3π u.a.
B) 4π u.a.
C) 5π u.a.
D) 8π u.a. < resposta
E) 9π u.a.

Esta questão não é difícil, ao contrário, é muito fácil e imediata.

O sistema de equações

Explicitamente, nos diz:

1) O quadrado da distância entre P1 e (0; 0) é 4, logo, distam 2 e

2) O quadrado da distância entre eles é 1, logo, distam 1.

(1) nos diz que, em R², o L.G. de P1 é circunferência de raio 2 centrada em (0; 0)

(2)  nos diz que há, em R², uma circunferência centrada em P1, de raio 1, que é o L.G. de P2.

Podemos satisfazer essas afirmações, em R²,  com um conjunto representado pela região sombreada da figura, uma coroa circular de raios r=2-1 e R=2+1, figura resultante da rotação completa ( 360º) de um P1 qualquer, levando consigo o L.G. de P2 (circunferência de raio 2 centrada em P1):


A = (R² - r²) ∏ = (9 - 1) ∏

A = 8 ∏ u.a. --> D

Acredito que a dificuldade estava em enxergar que a 2ª equação tratava-se de uma equação reduzida da circunferência de raio=1 e centro em P1. Obrigado!

EsdrasCFOPM escreveu:Acredito que a dificuldade estava em enxergar que a 2ª equação tratava-se de uma equação reduzida da circunferência de raio=1 e centro em P1. Obrigado!

A segunda equação nos diz que o quadrado da distância entre 2 pontos é 1...

O conjunto de pontos que satisfaz essa afirmação (Lugar Geométrico, L.G.) em R² é uma circunferência.

Você, se não souber o básico, vai ter dificuldade em tudo.

TEM que saber de cor, para não perder TEMPO nos concursos:

1 ) Equações da reta
2 ) Equações da parábola
3 ) Equações da circunferência
4 ) Equações da elipse
5 ) Distância entre dois pontos
6 ) Distância entre ponto e reta
7 ) Distância entre ponto e plano
8 ) Área do triângulo (ou paralelogramo) dados 3 pontos
9 ) Áreas e volumes de figuras planas e sólidos mais comuns

Etc.

Ou estudar Álgebra Vetorial, e deduzir, na hora, as fórmulas, perdendo algum tempo.

Para ficar fácil a questão é necessário e suficiente ESTUDAR :study: e, na hora do exame LER, RELER, :study: LER DE NOVO :bounce: , ANALISAR, PENSAR, SINTETIZAR :scratch: , e, fazer tudo isso, dentro do menor tempo possível     :idea: (o que implica, infelizmente, :twisted:  ter de decorar bastante coisas...):geek:  !

É realmente um caminho difícil mas se fosse fácil não se chamaria desafio e nem teria graça. hehehe

Obrigado pelas dicas!

Agora, da maneira complicada e difícil, que nem eu nem Medeiros gostamos... :evil:

1) Dados:

vetor A(a; b)

vetor B(x; y)

a² + b² = 4

|B - A|² = 1


2) Sabendo-se:

B - A = (x - a; y - b)

ângulo entre A e B = β

|A|² = a² + b²

|B|² = x² + y²

|B - A|² = (x - a)² + (y - b)² = |B|² + |A|² - 2|A||B|cosβ

A.B = |A||B| cosβ = ax + by


3) Tem-se:

a) (a e b) e (x e y) não podem ser nulos simultaneamente.

b) x² + y² + a² + b²  - 2V(a² + b² ) V(x² + y²)cosβ = 1

x² + y² + 4  - 2( 2 V(x² + y²)cosβ = 1

x² + y² + 4  - 4 cosβ V(x² + y²) = 1

cosβ = (x² + y² + 3) /4V(x² + y²)

cos²β = (x² + y² + 3)² / 16(x² + y²)

Então:

0 <= (x² + y² + 3)² / 16(x² + y²) <= 1


c) (x - a)² + (y - b)² = 1

x² + y² + a² + b²  - 2(ax + by ) = 1

x² + y² + 4 - 2(ax + by) = 1

x² + y² + 3 = 2(ax + by)

x² + y² = 2(ax + by) - 3

x² + y² > 0

Então:

ax + by > 3/2

ax + by = A.B

|A||B|cosβ > 3/2

4|B|cosβ > 3/2

cosβ > 3/(8|B|)

cos²β > 9/(64(x² + y²))

Então:

Então:

9/(64(x² + y²)) < (x² + y² + 3)² / 16(x² + y²) <= 1

9 < 4(x² + y² + 3)²  <= 64(x² + y²)

9 < 4(x² + y² + 3)² / (x² + y²)  <= 64

9/4 < (x² + y² + 3)² / (x² + y²)  <= 16

Mandando pro Wolfram ... :twisted: Alguém tem que trabalhar nesse fórum...



E fosse em R³ ?

Dava uma coroa (casca) esférica ou um toro (toroide) :face: ????