Parábola - Dúvida

Observe a figura:



Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).

a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola e o outro sobre a reta r.
Determine x para que f(x) seja a maior possível.

RESPOSTAS:
a) 4x + y + 8 = 0
b) y = - x² + 2x
c) x = -1


OBS: Alguém consegue me explicar esta questão?

Olá Jéssica,
a)
A reta r é reta, então, é do primeiro grau, assim:

f(x) = ax + b

f(-4) = -4a + b = - 24
f(2) = 2a + b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 4
b = - 8

Assim a equação da reta r será:

f(x) = 4x - 8


b)

Função do segundo grau, então:

f(x) = ax² + bx + c
f(-4) = 16a - 4b + c = - 24
f(0) = c = 0 (o ponto da origem)
f(2) = 4a + 2b + c = 0

Resolvendo o sistema, iremos encontrar:

a = -1
b = 2
c = 0

Assim a função será

f(x) = - x² + 2x

c)

Não consegui entender.

Letra c)

Vamos completar

c) Para um ponto qualquer de abcissa teremos uma ordenada y1 na parábola e outra y2 na reta:

y1 = - x² + 2x

y2 = 4x - 8

A diferença entre as ordenadas (nessa ordem) será ----> y1 - y2 = (- x² + 2x ) - ( 4x - 8 )

y1 - y2 = - x² - 2x + 8 ---> Temos portanto uma nova função h(x) = - x² - 2x + 8

Esta nova função é a medida vertical entre um ponto da parábola e um ponto da reta.
Notem que, variando o valor de x na figura, esta distância também varia: para x = - 4 e para x = 2 esta distância é nula. Logo, em algum ponto do eixo X, neste intervalo, a função h(x) terá seu valor máximo.

h(x) = - x² - 2x + 8 -----> xV = - b/2a ----> xV = - (-2)/2*(-1) ----> xV = - 1

h(-1) = - (-1)² - 2*(-1) + 8 ----> h(-1) = 9 -----> h(x)máx = 9

as respostas ajudaram muito, obrigada