Ângulo de um Quadrado

por **Adam Zunoeta** Sex 05 Nov 2010, 00:51

Determine o perímetro da figura sombreada no caso:
ABCD é um quadrado de 48 m de lado e os arcos são centrados em A,B ,C e D.

Resolução:
Ângulo de um Quadrado Figural

Eu não entendi de onde ele tiro o ângulo de 30 graus.

Eu fiz o seguinte para achar os 30 graus:
Através da figura eu vejo que o arco "AC" descreve um quarto de uma circunferência ,ou seja, 90 graus.
E notei que:
$\widehat {AE}= \widehat {EF}= \widehat {FC}$
Portanto:
$\widehat {EF}=\frac {90^\circ}{3}=30^\circ$
Acho que é isso, caso não seja por favor avisem.

por **Medeiros** Sex 05 Nov 2010, 02:35

sim, ÂE = ^EF = ^FC
mas, como se chegou nesta conclusão?
Porque se sabe que "a abertura de compasso que traça um arco de circunferência tem 60º".
Prova: um hexágono regular é inscritível e cada lado tem ângulo interno de 60º; logo, cada arco sobre um lado dele também tem 60º; e cada lado é igual ao raio (abertura do compasso) pois os 6 triângulos são equiláteros.

Aliás, essa é uma forma de se traçar um hexágono regular sobre uma circunferência dada.

por **Adam Zunoeta** Sex 05 Nov 2010, 02:38

Medeiros escreveu:sim, ÂE = ^EF = ^FC
mas, como se chegou nesta conclusão?
Porque se sabe que "a abertura de compasso que traça um arco de circunferência tem 60º".
Prova: um hexágono regular é inscritível e cada lado tem ângulo interno de 60º; logo, cada arco sobre um lado dele também tem 60º; e cada lado é igual ao raio (abertura do compasso) pois os 6 triângulos são equiláteros.

Aliás, essa é uma forma de se traçar um hexágono regular sobre uma circunferência dada.

Pra ver isso eu desenhei um quadrado circunscrito.
Depois quatro circunferências com centro nos vértices do quadrado.
Com isso montei a figura em questão.
Com isso eu notei que eu dividi a circunferência do quadrado circunscrito em três partes iguais que são:
$\widehat {AE}= \widehat {EF}= \widehat {FC}$

por **Medeiros** Sex 05 Nov 2010, 02:54

balanar escreveu:Pra ver isso eu desenhei um quadrado circunscrito.
Depois quatro circunferências com centro nos vértices do quadrado.
Com isso montei a figura em questão.

Vamos esmiuçar um pouco mais.

Todos os arcos limitados pelo quadrado têm 90º (pois que é característica do quadrado ter vértices de 90º).
Consideremos o arco ^AC com centro em B, seu raio é o lado do quadrado.
Com mesmo raio e centro em C traçamos o arco ^BD, que corta ^AC em E. Logo, ^EC tem 60º e, então, sobram 30º para o arco ^AE.
Analogamente, com centro em A, traçamos o arco ^BD que corta ^AC em F. Daí que ^FC = 30º.
Restam, portanto, 30º para o arco ^EF.

por **Adam Zunoeta** Sex 05 Nov 2010, 03:03

Medeiros escreveu:
balanar escreveu:Pra ver isso eu desenhei um quadrado circunscrito.
Depois quatro circunferências com centro nos vértices do quadrado.
Com isso montei a figura em questão.
Vamos esmiuçar um pouco mais.

Todos os arcos limitados pelo quadrado têm 90º (pois que é característica do quadrado ter vértices de 90º).
Consideremos o arco ^AC com centro em B, seu raio é o lado do quadrado.
Com mesmo raio e centro em C traçamos o arco ^BD, que corta ^AC em E. Logo, ^EC tem 60º e, então, sobram 30º para o arco ^AE.
Analogamente, com centro em A, traçamos o arco ^BD que corta ^AC em F. Daí que ^FC = 30º.
Restam, portanto, 30º para o arco ^EF.

O seu arco "EC" é o arco de um hexágono?

por **Adam Zunoeta** Sex 05 Nov 2010, 03:13

Medeiros escreveu:
balanar escreveu:Pra ver isso eu desenhei um quadrado circunscrito.
Depois quatro circunferências com centro nos vértices do quadrado.
Com isso montei a figura em questão.
Vamos esmiuçar um pouco mais.

Todos os arcos limitados pelo quadrado têm 90º (pois que é característica do quadrado ter vértices de 90º).
Consideremos o arco ^AC com centro em B, seu raio é o lado do quadrado.
Com mesmo raio e centro em C traçamos o arco ^BD, que corta ^AC em E. Logo, ^EC tem 60º e, então, sobram 30º para o arco ^AE.
Analogamente, com centro em A, traçamos o arco ^BD que corta ^AC em F. Daí que ^FC = 30º.
Restam, portanto, 30º para o arco ^EF.

Vou dividir sua resposta em etapas para ficar mais fácil:

1)Todos os arcos limitados pelo quadrado têm 90º (pois que é característica do quadrado ter vértices de 90º)--->OK

2)Consideremos o arco ^AC com centro em B, seu raio é o lado do quadrado.---->OK

3)Com mesmo raio e centro em C traçamos o arco ^BD, que corta ^AC em E.---->OK

4)Logo, o arco "EC" tem 60º e, então, sobram 30º para o arco ^AE.---->Não entendi

5)Analogamente, com centro em A, traçamos o arco "BD" que corta ^AC em F. Daí que ^FC = 30º.
Restam, portanto, 30º para o arco ^EF.---->Depende do item 4

Eu entendi isso:

1)Todos os arcos limitados pelo quadrado têm 90º (pois que é característica do quadrado ter vértices de 90º)--->OK

2)Consideremos o arco ^AC com centro em B, seu raio é o lado do quadrado.---->OK

3)Com mesmo raio e centro em C traçamos o arco ^BD, que corta ^AC em E.---->OK

4)Logo, o arco "EC" tem 60º, pois é um arco de um hexágono e, então, sobram 30º para o arco ^AE.---->OK

5)Analogamente, com centro em A, traçamos o arco "BD" que corta ^AC em F. Daí que ^FC = 30º.
Restam, portanto, 30º para o arco ^EF.---->OK

É isso?