UFRJ - 2000

por Lucas Lopess Qua 02 Set 2015, 09:52

Sejam O = ( 0 , 0 ) , P = ( 5 , 2 ) e P' = ( 2 , 5 ) . Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo q, o ponto P transforma-se no ponto P’.
Determine cosq.

Gabarito: 20/29

O ângulo q é formado entre o segmento OP e eixo principal, não é? A resposta não deveria ser (5_*√29)/29?

Desde já, eu agradeço.

por **Ashitaka** Qua 02 Set 2015, 10:13

Sejam os vetores:
OP = (5,2)
OP' = (2,5)

Da geometria vetorial, temos
OP * OP' = |OP||OP'|cosq
10 + 10 = √29 * √29 * cosq
cosq = 20/29.

q é o ângulo entre OP e OP'.

por **Elcioschin** Qua 02 Set 2015, 11:22

Outro modo, usando trigonometria:

Sejam a, b os ângulos entre as retas OP e OP' com o eixo x:

OP² = 5² + 2² ---> OP = √29 ---> OP' = √29

cosa = 5/√29 ---> sena = 2/√29
cosb = 2/√29 ---> senb = 5/√29

q = b - a ---> cosq = cos(b - a) ---> cosq = cosa.cosb + sena.senb --->

cosq = (5/√29).(2/√29) + (2/√29).(5/√29) ---> cosq = 10/29 + 10/29 ---> cosq = 20/29

por **Ashitaka** Qua 02 Set 2015, 11:36

Fiquei de dizer que há essa solução que o Mestre Elcio fez e também tem como encontrar usando ângulo entre retas, embora mais trabalhoso. Acho que o melhor modo é usando vetores como fiz, sai em 1 linha caso não precise mostrar a solução para alguém. Infelizmente não é uma ferramente ensinada no ensino médio.
Também tem como resolver usando números complexos, se fizer as contas percebe que OP' é OP multiplicado por z = 20/29 + 21i/29, o que já nos diz que cosz = 20/29.