Equação Logarítma:

por **JoaoGabriel** Qui 28 Out 2010, 19:00

Se $a + b \neq 1$ e $a - b \neq 1$ ,

mostre que:

$\frac {1}{log_a_+_b c} + \frac {1}{log_a_-_b c} = 2$ .

Ps: favor fazer detalhadamente e usar a mudança de base para mudar para base $c$ .

Abraços.

por **Euclides** Qui 28 Out 2010, 20:54

João Gabriel,

suponho que falte ainda alguma informação. A proposição não é verdadeira para quaisquer valores de a, b e c que satisfaçam as condições dadas:

$\\\frac{1}{\log_{a+b}c}+\frac{1}{\log_{a-b}c}=\log_c(a+b)+\log_c(a-b)\\\\a=4,\,\,b=2,\,\,c=10\\\\\log6+\log2=1,079$

por DouglasM Qui 28 Out 2010, 21:05

Vamos começar achando uma relação entre a, b e c:

$\frac{1}{\log_{(a+b)} c} + \frac{1}{\log_{(a-b)} c} = 2 \;\therefore$

$\log_c (a+b) + \log_c (a-b)= 2 \;\therefore$

$\log_c (a+b)(a-b) = 2 \;\therefore$

$(a+b)^\frac{1}{2}.(a-b)^{\frac{1}{2}}= c$

Agora vamos substituir isso na equação original:

$\frac{1}{\log_{(a+b)} (a+b)^{\frac{1}{2}}.(a-b)^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\log_{(a-b)} (a+b)^{\frac{1}{2}}.(a-b)^{\frac{1}{2}}} = 2 \;\therefore$

$\frac{1}{\frac{1}{2} + \log_{(a+b)}(a-b)^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{2} + \log_{(a-b)} = 2$

Vamos transformar isso numa fração só:

$\frac{\frac{1}{2} + \log_{(a-b)}(a+b)^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} + \log_{(a+b)}(a-b)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.[\log_{(a-b)}(a+b)^{\frac{1}{2}} + \log_{(a+b)}(a-b)^{\frac{1}{2}}] + \frac{1}{4}} = 2 \;\therefore$

$\frac{1 + \log_{(a-b)}(a+b)^{\frac{1}{2}} + \log_{(a+b)}(a-b)^{\frac{1}{2}} }{\frac{1}{2}.[1 + \log_{(a-b)}(a+b)^{\frac{1}{2}} + \log_{(a+b)}(a-b)^{\frac{1}{2}}]} = 2 \;\therefore$

$2 = 2$

Peço que verifique com cuidado cada uma das operações, eu omiti as vezes em que apliquei as propriedades de logaritmos para não me delongar muito. Até a próxima.

por DouglasM Qui 28 Out 2010, 21:18

Para completar o que o Euclides disse, essa relação só vai ser válida se:

a² = b² + c²

O problema parece já assumir que a relação é válida, o que demonstra uma certa falta de rigor no enunciado. Mas partindo daí é só fazermos a substituição para demonstrar o que se pede.