Esfera
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Esfera
por Renan Phoenix Ter 28 Jul 2015, 19:20
(UFMT) Considere um cilindro circular reto de perímetro da base 16π cm inscrito em um cubo que, por sua vez, está inscrito em uma esfera. Determine a área da superficie dessa esfera.
Gabarito: 1607,68 cm²
Desde já agradeço.
Gabarito: 1607,68 cm²
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Renan Phoenix- Recebeu o sabre de luz
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Re: Esfera
por Euclides Ter 28 Jul 2015, 21:21
O diâmetro da base do cilindro é igual à aresta do cubo: 16 cm
A diagonal interna do cubo é igual ao diâmetro da esfera:16\sqrt{3} cm.
Área da esfera:4\pi R^2\;\to\;768\pi \text{cm}^2
A diagonal interna do cubo é igual ao diâmetro da esfera:
Área da esfera:
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Re: Esfera
por rodrigoneves Ter 28 Jul 2015, 21:24
Sejam: r o raio da base do cilindro, a a aresta do cubo e R o raio da esfera.
2 \pi r = 16 \pi \, \text{cm} \Rightarrow r = 8 \, \text{cm}
Se o cilindro está inscrito no cubo, então a circunferência que é base daquele está inscrita no quadrado que é base deste. Portanto, o diâmetro da circunferência coincide com o lado do quadrado (que por sua vez coincide com a aresta do cubo) e teremos:
a = 2r = 16 \, \text{cm}
Como o cubo está inscrito na esfera, teremos que o diâmetro desta coincide com a diagonal daquele e portanto
2R = a \sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16 \, \text {cm} \therefore R = 8\sqrt{3} \, \text{cm}
Finalmente, a área da superfície esférica é dada por:
A = 4\pi R^2 = 4\pi \left ( 8\sqrt{3} \, \text{cm} \right )^2 = 4\pi \cdot 64 \cdot 3 \, \text{cm}^2 \approx 2412.7 \, \text{cm}^2
Discordo do gabarito.
Se o cilindro está inscrito no cubo, então a circunferência que é base daquele está inscrita no quadrado que é base deste. Portanto, o diâmetro da circunferência coincide com o lado do quadrado (que por sua vez coincide com a aresta do cubo) e teremos:
Como o cubo está inscrito na esfera, teremos que o diâmetro desta coincide com a diagonal daquele e portanto
Finalmente, a área da superfície esférica é dada por:
Discordo do gabarito.
rodrigoneves- Matador
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