Equações Irracionais VI

por joaop2015 Sáb 11 Jul 2015, 15:12

O número de raízes racionais da equação √(x + 1) = x² - 1 é:
Resposta: 1
Obs: tentei postar com o html gerado no codecogs mas deu que não tenho permissão.

por Armando Vieira Sáb 11 Jul 2015, 15:47

√(x + 1) = (x+1)(x-1)
(√(x + 1))² = [(x+1)(x-1)]²
x+1 = (x+1)²(x-1)²

(x-1)²(x+1) = 1
(x-1)(x-1)(x+1) = 1

(x-1)(x² -1) = 1
x³ -x- x² +1 = 1
x³ - x² - x = 1 - 1
x³ - x² - x = 0
x(x² - x - 1) = 0
x = 0 (1ª possibilidade)

x² - x - 1 = 0 (2ª possibilidade)
∆ = 1 - 4 (1) (-1)
∆ = 1 + 4
∆ = 5
x = (1±√5)/2 ---> são reais mas não são racionais.
logo a única solução racional é x = 0. Então temos 1 solução racional.

por joaop2015 Sáb 11 Jul 2015, 16:56

Obrigado pela resposta detalhada. Não havia enxergado aquele produto notável no começo da resolução.

por **Elcioschin** Sáb 11 Jul 2015, 17:17

Acho que existe um erro na solução:

x+1 = (x+1)²(x-1)² ---> Quando se divide ambos os membros por x + 1 está sedo desprezada a raiz x = - 1

Assim, o correto é fatorar: (x+1)²(x-1)² - (x+1) = 0 ---> (x + 1).[(x + 1).(x - 1)² - 1] = 0

Poderemos ter as duas soluções

1) x + 1 = 0 ---> x = - 1

2) (x + 1).(x - 1)² - 1 = 0 ---> (x + 1).(x² - 2x + 1) - 1 = 0 ---> x³ - x² - x = 0 ---> x.(x² - x - 1) = 0

Agora teremos mais duas possibilidades:

3) x = 0

4) x² - x - 1 = 0 ---> Não existem soluções racionais

Agora, DEVEMOS testar as duas soluções pois a elevação ao quadrado inicial pode ter introduzido raízes indesejadas

Testando x = 0 ---> √(0 + 1) = 0² - 1 ---> 1 = - 1 ---> zero NÃO é raiz

Testando x = -1 ---> √(-1 + 1) = (-1)² - 1 ---> 0 = 0 ---> -1 é raiz

A solução é: existe UMA única solução: x = - 1

por joaop2015 Sáb 11 Jul 2015, 18:41

Obrigado Mestre.

por Armando Vieira Sáb 11 Jul 2015, 19:16

Muito obrigado mestre, não conhecia essa informação. Acabei de perceber meu erro em uma questão do Colégio Naval.
Então só posso simplificar desta maneira quando estiver solucionando as frações algébricas ou forem números, correto?
Muito obrigado. Very Happy