Função do 2º grau - Fuvest

por brendad Sáb 29 Jun 2013, 00:50

Considere a função f(x) = √(1 - 2x²)
a) Determine constantes reais α, β e γ de modo que (f(x))² = α[(x² + β)² + γ]
b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação 2x² + y² = 1.

a) α = -2, β = -1/4 e γ = - 1/16
b) 1 e v2

por **Elcioschin** Sáb 29 Jun 2013, 22:54

f(x) =√(1 - 2x²) ----> [f(x)]² = 1 - 2x²

α[(x² + β)² + γ] = - 2x² + 1

α(x²)² + 2.αβx² + αβ² + αγ = - 2x² + 1

Comparando temos α = 0 ---> Não confere com o gabarito. Deve haver algum erro no enunciado. Favor conferir

por brendad Dom 30 Jun 2013, 22:40

Na internet está com x²,mas no meu livro é x. Seria esse o erro?
Ficaria (f(x))² = α[(x + β)² + γ]

O gabarito permanece o mesmo

por **Elcioschin** Seg 01 Jul 2013, 18:04

f(x) =√(1 - 2x²) ----> [f(x)]² = 1 - 2x²

α[(x + β)² + γ] = - 2x² + 1

α.x² + 2.αβx + αβ² + αγ = - 2x² + 1

Comparando ----> α = - 2 , β = 0 , γ = - 1/2

Como você pode ver, novamente o gabarito não coincide.
Isto significa que existem outros erros

por joaovitorcp Seg 04 Abr 2016, 17:30

A função correta é: f(x)=x√¯(1-2x²)
Estava faltando o X

por **Elcioschin** Seg 04 Abr 2016, 18:44

Jã são erros demais para o meu gosto.
Por favor, escaneie ou fotografe o original da prova da Fuvest e poste aqui.

por marcosprb Qua 24 Abr 2019, 23:16

Elcioschin escreveu:Jã são erros demais para o meu gosto.
Por favor, escaneie ou fotografe o original da prova da Fuvest e poste aqui.

Essa é a questão original
f(x) = x√(1 - 2x²)

a) Determine constantes reais a, b e g de modo que (f(x))² = a.[(x² + b)²+g]

por **Elcioschin** Sex 26 Abr 2019, 20:05

Eleve f(x) ao quadrado ---> x².(1 - 2.x²) = - 2.x⁴ + x²

Desenvolva a.[(x² + b)²+g]

Compare coeficientes de termo de mesmo grau de x e calcule a, b, g

por THEYLOR Qua 17 Abr 2024, 22:12

Elcioschin escreveu:Eleve f(x) ao quadrado ---> x².(1 - 2.x²) = - 2.x⁴ + x²

Desenvolva a.[(x² + b)²+g]

Compare coeficientes de termo de mesmo grau de x e calcule a, b, g

Boa noite sr Elcioschin. Poderia fazer a resolução final (passo a passo), travei em a(x²)²+2x²ba+ab²+ga = x²-2x^4.
Grato pela atenção.

por Júnior Constantino Seg 27 maio 2024, 20:06

THEYLOR escreveu:
Elcioschin escreveu:Eleve f(x) ao quadrado ---> x².(1 - 2.x²) = - 2.x⁴ + x²

Desenvolva a.[(x² + b)²+g]

Compare coeficientes de termo de mesmo grau de x e calcule a, b, g
Boa noite sr Elcioschin. Poderia fazer a resolução final (passo a passo), travei em a(x²)²+2x²ba+ab²+ga = x²-2x^4.
Grato pela atenção

Vamos lá!

Temos: f(x) = x√(1-2x²)

Ele quer: f(x)² = a[(x² + ß)² + y)

Ou seja, devemos elevar o termo "x√(1-2x²)" ao quadrado, já que ele é igual a f(x).

f(x)² = a[(x² + ß)² + y]

[x√(1-2x²)]² = a[(x² + ß)² + y] --> basta distribuir o quadrado no primeiro membro, lembra que "1-2x²" está dentro da raiz, então basta tirá-lo.

x²(1-2x²) = a[(x² + ß)² + y) ---> Vamos distribuir novamente, agora o "x²" no primeiro membro

x² - 2x⁴ = a[(x² + ß)² + y] --> agora, antes de distribuirmos o "a", vamos fazer o produto notável (x² + ß)²

x² - 2x⁴ = a[x⁴ + 2ßx² + ß² + y] --> agora sim vamos distribuir o "a"

x² - 2x⁴ = ax² + 2aßx² + aß² + ay

Feito isso, basta igualarmos os termos de mesmo grau, visto que a questão pede os valores que tornem possível a igualdade, então podemos considerar a igualdade polinomial.

-2x⁴ = ax⁴ ---> a =-2

x² = 2xßx² ---> se a = -2, x² = -2.2.ßx², logo x² = -4ßx²

Então, -4ß = 1 ---> ß = -1/4

Por fim, vemos que não temos termos independentes no primeiro membro, então a soma dos termos independentes do segundo membro deve ser zero

aß² + ay = 0

-2.(-1/4)² -2y = 0

-2.1/16 - 2y = 0

2y = -2/16
2y = -1/8
y = -1/16

Espero ter ajudado!