Números Complexos, Raízes

por sergiolsm Qui 09 Jul 2015, 15:33

Ola
Pessoal estou tendo dificuldade em um parte da resolução de um questão. Segue anexo

''Sendo X um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é ''

Números Complexos, Raízes 14dzio0

Consegui simplificá-la e tudo, mas não faço ideia de como achar as raízes dessa equação , encontrei a Z=1, porém existe outras duas que desconheço (no caso, uma seria conjugado da outra)

Como faço para obtê-las?

PS; Acredito ter visto essa questão no fórum mas não consegui ver a sua resolução .
Desde já , Grato

por **Elcioschin** Qui 09 Jul 2015, 16:04

Ilegível

Além disso, pela Regra IX do fórum é proibido postar teto de enunciados através de figuras ou links: o texto deve ser digitado.

Por favor EDITe sua questão.

por sergiolsm Qui 09 Jul 2015, 16:10

Desculpe, não tinha conhecimento de como postar imagens no fórum.

A letra da resolução está ilegível ?

por _TNY_ Qui 09 Jul 2015, 16:29

Então, partindo do que vc já resolveu pela imagem, eu fiz o seguinte:

$\frac{16(1-x^2)}{1+x^2} - \frac{2.16xi}{1+x^2} = 2i$

Daí igualei a parte real com a parte real, e a parte imaginária com a parte imaginária.
Nesse caso temos a parte real igual a zero e a parte imaginária igual a 2.

$\frac{16(1-x^2)}{1+x^2} = 0$

Tem-se: (1-x^2)=0
Temos x= + ou - 1

Agora faremos pra parte imaginária:

$\frac{-16x}{1+x^2}=1$

$x^2+16x+1=0$

Raízes: $-8+ou-3\sqrt{7}$

Valores de x: 1,-1, $-8+\sqrt{7}$ , $-8-\sqrt{7}$

Agora vc precisa elevar ao quadrado esses valores, um a um e depois somar.
Acho que é isso.
Tem gabarito?

por **Jader** Qui 09 Jul 2015, 16:53

Você chegou em z³=1, então vamos chamar de w=z³, assim temos:

|w|=1

sen(θ)=0

cos(θ)=1

portanto, θ=0º

Pela fórmula de Moivre temos:

$z_{k}=\sqrt[3]{1}\left ( cos\left ( \frac{0 +2k\pi}{3} \right ) +isen\left ( \frac{0 +2k\pi}{3} \right )\right )$ , com k=0,1 e 2

Para k=0:

$z_{0}=\sqrt[3]{1}\left ( cos\left ( \frac{0}{3} \right ) +isen\left ( \frac{0}{3} \right )\right )=1$

Para k=1:

$z_{1}=\sqrt[3]{1}\left ( cos\left ( \frac{2\pi}{3} \right ) +isen\left ( \frac{2\pi}{3} \right )\right )=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Para k=2:

$z_{2}=\sqrt[3]{1}\left ( cos\left ( \frac{4\pi}{3} \right ) +isen\left ( \frac{4\pi}{3} \right )\right )=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$