[Resolvido]Números complexos e raizes

por Nic.cm Seg 29 Abr 2019, 16:07

Seja z diferente de 1 uma das raizes cúbicas da unidade. Então 1 + z + z^2 vale:
A) 0
B) 3
C) 1
D) 3
E) 1 + I raiz de 3

Gabarito: C

por **Elcioschin** Seg 29 Abr 2019, 16:58

As três raízes da unidade são

z = cos0 + i.sen0 ---> z = 1

z = cos(2.pi/3) + i.sen(2.pi/3) = -1/2 + i.√3/2

z = cos(4.pi/3) + i.sen(4.pi/3) = -1/2 - i.√3/2

Como z ≠ 1 escolha uma das duas raízes complexas e faça os cálculos

por Nic.cm Seg 29 Abr 2019, 20:26

Elcioschin escreveu:As três raízes da unidade são

z = cos0 + i.sen0 ---> z = 1

z = cos(2.pi/3) + i.sen(2.pi/3) = -1/2 + i.√3/2

z = cos(4.pi/3) + i.sen(4.pi/3) = -1/2 - i.√3/2

Como z ≠ 1 escolha uma das duas raízes complexas e faça os cálculos

Elcio, como vc supôs essas 3 raizes ? A segunda raiz complexa eu entendi pelo fato do conjugado de um número complexo tb ser raiz, mas de onde saíram esses números ?

por **Medeiros** Seg 29 Abr 2019, 21:14

Do enunciado: z é uma das raízes cúbicas da unidade; e z não é o 1.

por **Elcioschin** Seg 29 Abr 2019, 21:59

Nic.cm

Desenhe um Diagrama de Argand Gauss (eixos real e imaginário)

Plote o afixo da 1ª raiz cúbica ---> Vetor de módulo 1 no eixo real: (1, 0)

Plote agora os outros dois afixos das outras duas raízes:

1) vetor de módulo 1 fazendo 120º com o 1º afixo ---> (-1/2, √3/2)

2) vetor de módulo 1 fazendo 240º com o 1º afixo ---> (-1/2, - √3/2)

As raízes sempre formam um polígono regular: neste caso, um triângulo equilátero de lado 1