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Números Complexos VI

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Números Complexos VI Empty Números Complexos VI

Mensagem por Thiago Casanova Qui 02 Jul 2015, 19:16

Determine z ∈ C tal que z³ = conjugado de z.


Desenvolvi e td mas n saquei como chegar no gabarito  Question








Gabarito :
z= i ou z=0 ou z= -i ou z= 1 ou z=-1
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Números Complexos VI Empty Re: Números Complexos VI

Mensagem por CaiqueF Qui 02 Jul 2015, 19:29

z = a+bi
(a+bi)³ = a-bi
a³ + 3a²bi + 3ab²i² - b³i = a-bi
(a³-3ab²) = a (I)
(3a²b-b³) = -b (II)

(I):
a³ - 3ab² - a = 0
a(a²-3b² - 1) = 0

(II):
3a²b-b³+b = 0
b(3a²-b²+1) = 0

De (I):
a=0 ou a²-3b²-1=0

Se a=0, então em (II) concluimos que b=0 ou -b²+1=0, b=±1
entao z pode ser i ou -i

De (II)
b = 0 ou 3a²-b²+1=0

se b=0, então em (I) concluimos que a²-1 = 0, a=±1
entao z pode ser 1 ou -1

se a=b=0 então z=0
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