Integral indefinida

por pertinax Ter 30 Jun 2015, 16:03

Se alguém puder me ajudar neste exercício, eu agradeço imensamente!
Verifique que:
∫sec^(n)*x*dx=1/(n-1)*sec^(n-2)*x*tg(x)+n-2/(n-1)*∫sec^(n-2)*x*dx
onde n>1 é um número natural. Em seguida, calcule ∫sec(x)^(5)*x*dx.

por **mauk03** Ter 30 Jun 2015, 17:18

$\int \sec ^{n}xdx=\int \sec ^{n-2}x\sec ^{2}xdx$

Usando integração por partes:
$u=\sec ^{n-2}x\Rightarrow du=(n-2)\sec ^{n-2}x\tan xdx$
$dv=\sec ^{2}x\Rightarrow v=\tan x$

$\int \sec ^{n}xdx=\sec ^{n-2}x\tan x-(n-2)\int \sec ^{n-2}x\tan^{2} xdx$ $=\sec ^{n-2}x\tan x-(n-2)\int \sec ^{n-2}x(\sec^{2} x-1)dx$ $=\sec ^{n-2}x\tan x-(n-2)\int \sec ^{n}xdx+(n-2)\int \sec ^{n-2}xdx$

Observando que temos integrais de sec^n(x) nos dois lados da equação, podemos somar esses termos:
$(n-1)\int \sec ^{n}xdx=\sec ^{n-2}x\tan x+(n-2)\int \sec ^{n-2}xdx\Rightarrow$ $\int \sec ^{n}xdx=\frac{\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}xdx$

por pertinax Ter 30 Jun 2015, 17:44

Vlw cara, me ajudou demais! Se puder me ajudar em outro tópico que coloquei ontem sobre esboço de gráficos, vou ser eternamente grato Laughing

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