(FUVEST) - Geometria Analítica

(FUVEST) A reta r, de equação x-y=2, intersecta a circunferência de equação x²+y²-8x-2y+12=0 nos pontos A e B. Nessas condições, determine a equação mediatriz da corda AB e mostre que a mediatriz contém o centro C da circunferência.

Fala galara, eu fiz desta forma:

r: x-y=2    x²+y²-8x-2y+12=0 (I)

x=y+2 (II)

Subs. II em I, vem:

(y+2)²+y²-8.(y+2)-2y+12=0 => 2y²-6y=0 => y'=0 ou y''=3

Subs. y' em II e y'' em II, vem:

x=y+2 => x=2
x=y''+2 => x=5

Logo, A(2,0) e B(5,3)

Determinando a equação mediatriz da corda AB, temos:

1°) Achei as coordenadas do centro:

XC=2+5/2 => XC=7/2 e YC=0+3/2 => YC=3/2  Portanto, C(7/2 , 3/2).

2°) Construir a equação de reta:

r: y=-2+x Portanto, o coeficiente angular é 1.

y-3/2 = 1(x-7/2) => 2y-3/2 = 2x-7/2 => 4y-6=4x-14 => x-y-2=0 (Equação da mediatriz)

Verificando se a reta mediatriz contém o centro da circunferência C:

Subs. os pontos C(7/2 , 3/2) na reta, vem:

y=x-2 => 3/2=7/2-2 => 3/2=3/2 Portanto, a mediatriz contém o centro C da circunferência.

Não entendi o porquê do meu erro. Alguém dê uma força aêh! Valeu!

Resposta: x+y-5=0

Olá Gabriel,

Acho que o erro pode estar em:

- centro da circunferência: C( 4, 1 ) -> já calculado

- pontos de interseção da reta x - y = 2 com a circunferência : A( 5, 3 ) e B( 2, 0 ) -> já calculado

- ponto médio do segmento AB: M( 7/2 , 3/2 ) -> já calculado

- reta que passa pelos pontos A e B: -> y = x - 2 -> já calculado

- reta perpendicular à reta y = x - 2 que passa pelo ponto M( 7/2 , 3/2 )

y - ( 3/2 ) = - 1* ( x - (7/2) )

( 2y - 3 )/2 = ( - 2x + 7 )/2

y = - x + 5


werificando se o centro da circunferência pertence à reta ->

1 = - 4 + 5 = 1 -> centro pertence à mediatriz da corda AB.

- acho que é isso.

x²+y²-8x-2y+12=0
x-y=2

(y+2)² + y² - 8(y+2) - 2y + 12 = 0
y = 0 ou y = 3
x = 2 ou x = 5

A(2, 0), B(5, 3) ---> (A+B)/2 = (7/2, 3/2)

y = mx + n, m = -1
3/2 = -7/2 + n
n = 5

y = -x + 5
x + y - 5 = 0

Muito obrigado, Jose Carlos e Ashitaka. No entanto, tenho uma dúvida sobre a resolução de ambos. No caso do coeficiente angular, em ambas as resoluções deram -1, isso ocorre porque vocês usaram a fórmula m'.m'' =-1 para achar o coeficiente angular?

Sim.

Nossa, que rápido haha!!! Vlw, brother. Aí tem algum macete para me dar para eu saber quando devo utilizar esta fórmula, porque às vezes fico em dúvida? Ou isso é algo que está mais na parte teórica e eu devo saber

Não existe macete. Existe algum macete para saber quando você vai usar um garfo para comer? Claro que não. Apenas se depara com a situação em que precisa comer e lembra de usá-lo. A única utilidade de mm' = -1 é quando se trabalha com retas perpendiculares, então só existe essa situação para lembrar disso e o que se deve fazer.

Lembro-me de quando estava no 2º ano e uma "professora" foi dar de ensinar lei dos senos e cossenos para os alunos. Eles ficaram loucos porque nunca sabiam quando usar qual. Eu nunca entendi esse tipo de dúvida. É só olhar para o que você tem e o que precisa, é automático, como a história do garfo ali... não sei porque as pessoas não param para pensar em algo tão simples... (sem indiretas ou ofensas, de verdade, é mais um pensamento alto hahaha).

Ah, eu até entendo sua posição. Mas infelizmente nem todos tem a mesma facilidade que você tem né. Se as coisas fossem tão simples assim como a sua comparação acima, acho que este fórum nem precisaria existir...

Claro que precisaria. Acha que eu não tenho dúvidas? O raciocínio é a parte mais difícil em quase tudo. Hoje mesmo postei uma ou duas questões. O que eu digo que não entendo sobre haver dúvidas é quando aplicar tal fórmula. Por exemplo, se eu te desse uma equação x² - 5x + 6 = 0 você sem dúvidas associaria ao Baskara. Por quê? Porque é a primeira ferramenta que te vem em mente para resolver, não é? Os dados fornecidos para resolvê-la encaixam-se perfeitamente com a ferramente (a fórmula) e por isso lembra dela. Mesma coisa sobre a relação dos coeficientes. É só isso.
Mas uma coisa que certamente concordo contigo é que a prática é fundamental para facilitar essa visão e é por isso que é tão importante :] qualquer dúvida ou dica é só falar aí. Boa noite!

Entendo... Enfim, muito obrigado por me ajudar, o mesmo vale para o José Carlos.

Obs: Obviamente, não possuo nenhuma mágoa por sua resposta acima, que por sinal, até concordo haha!

Flw!