Função Inversa: Dúvida

por talliengenharia Dom 21 Jun 2015, 21:50

A questão que eu peguei não possui gabarito T-T

1. Determine o domínio da função inversa da função

Função Inversa: Dúvida Fvh6xi

Daí eu resolvi assim:

Troquei Y por X
E troquei X por Y.

Ficando assim:
Função Inversa: Dúvida 14t0i09

E então:

xy + 5x = 2y - 3

5x + 3 = 2y - xy

5x + 3 = y (2 - x)

E finalmente:

Função Inversa: Dúvida 160zzfr

Domínio
2 - x diferente de 0

x diferente de 2.

Domínio: conjunto dos reais exceto o 2.

É esse o gabarito?

por **Carlos Adir** Dom 21 Jun 2015, 22:22

Está correto.
$\\ \mathrm{f(x)=\dfrac{2x-3}{x+5}} \\ \mathrm{f(x) \left[x+5 \right ] - \left(2x-3 \right )=0} \\ \mathrm{x \left[ f(x) - 2 \right ]+ 5 f(x)+3=0} \\ \mathrm{x \left[f(x)-2 \right ]=- \left(5f(x)+3 \right )} \\ \mathrm{x = \dfrac{- \left[5 f(x) +3 \right ]}{f(x)-2}} \\ \boxed{\mathrm{\therefore f^{-1}(x)=\dfrac{-(5x+3)}{x-2}}}$
Na maioria dos casos(eu não digo todos pois não sei provar, então não posso generalizar), temos que:
$\begin{cases}\mathrm{D(f)=Im(f^{-1})} \\ \mathrm{D(f^{-1})=Im(f)} \end{cases}$
Outra relação que podemos tirar é que se formos esboçar o gráfico, a função e sua inversas serão como uma reflexão em relação à reta y=x:
Função Inversa: Dúvida XNSrF3m

$\\ {\color{Red} \mathrm{f(x)=\dfrac{2x-3}{x+5}}} \\ {\color{Blue} \mathrm{f^{-1}(x)=\dfrac{-(5x+3)}{x-2}}}$

Creio que já conheces limite. Então:
$\\ \mathrm{\lim_{x \to -5^{-}}f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} f^{-1}(x)=-5^{-}} \\ \mathrm{\lim_{x \to -5^{+}}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \lim_{x \to - \infty} f^{-1}(x)=-5^{+}} \\ \mathrm{\lim_{x \to + \infty}f(x)=2^{-} \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{-}}f^{-1}(x)=+\infty} \\ \mathrm{\lim_{x \to - \infty}f(x)=2^{+} \Leftrightarrow \lim_{x \to 2^{+}}f^{-1}(x)=- \infty} \\ \mathrm{Lembrando \ que \ o \ 2^{+} \ indica \ que \ a \ funcao \ vai \ por \ cima} \\ \mathrm{e \ do \ mesmo \ modo, \ 2^{-} \ indica \ que \ a \ funcao \ tende \ a \ 2 \ por \ baixo}$

por talliengenharia Dom 21 Jun 2015, 23:46

Carlos Adir escreveu:
"Creio que já conheces limite."

Ainda não rsrs. Estudo limites por conta própria.
Introdução ao Cálculo mesmo vai ser no 2 período! <3
De qualquer forma obrigada pela resposta completa.
Te adoro!!

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