Dúvida quanto a função inversa

por ragefloyd Ter 06 Abr 2021, 21:49

Fazendo o primeiro livro do FME (Iezzi), cheguei na seguinte questão:

A função f em R, definida por f(x) = x², admite função inversa? Justifique.

Logo de cara soube que a resposta é não, e que a justificativa seria que f(x) = x² não é sobrejetora nem injetora, portanto não é bijetora e não pode ter função inversa. Mas eu decidi tentar provar que f(x) = x² não é sobrejetora algebraicamente, pra tentar generalizar o problema.

Fiz o seguinte:

[latex]f(x) = y \rightarrow y = x^{2} \rightarrow x = \pm \sqrt{y}[/latex]
[latex]f(x)=f(\pm \sqrt{y}) = (\pm \sqrt{y})^2 \rightarrow f(\pm \sqrt{y}) = y \rightarrow f(x)=y[/latex]

Se ∀y, ∃x tal que f(x) = y, isso não prova que f(x) = x² é sobrejetora? Eu sei que isso está errado, mas não consigo encontrar o erro.

por **Elcioschin** Ter 06 Abr 2021, 22:38

f(x) = y = x²

Função inversa ---> x = y² ---> y = ± √x ---> f -¹(x) = ± √x

Existem dois valores de f-¹(x) para o mesmo valor de x ---> NÃO é uma função.

Outros exemplos: a equação de uma elipse, de uma circunferência ou de uma hipérbole não são funções, pois para o mesmo x existem dois y diferentes

por ragefloyd Ter 06 Abr 2021, 22:50

Ahh, claro, faz sentido. Muito obrigado mestre!

por **Emanoel Mendonça** Ter 06 Abr 2021, 23:04

Boa noite,

A função x² é sobrejetora e não é injetora, fazendo o teste da reta horizontal, observamos que temos dois elementos distintos do domínio resultanto em uma mesma imagem. O +/- vem da definição de módulo, e se você restringir y ≥ 0 usamos o + e se adotarmos y < 0 usamos o -, desse modo temos a inversa da função do segundo grau para esses intervalos. Como mestre Elcioschin elucidou, não é possível usar os dois, pois não seria mais uma função.

por ragefloyd Dom 11 Abr 2021, 17:42

Obrigado pela resposta Emanoel, mas agora fiquei um pouco confuso. Quando f(x) = x², não existe um x real tal que f(x) <0, pois qualquer número real elevado ao quadrado será positivo. Como x² pode ser sobrejetora? f(x) = x² seria sobrejetora apenas quando o contradomínio for restringido, não? (Por exemplo, se f: ℝ -> A, A = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}, f(x) = x²)

por ragefloyd Dom 11 Abr 2021, 17:49

Ah, entendi onde minha prova está errada.

Se [latex]x = \pm \sqrt{y}[/latex], x será real se, e somente se [latex]y\geq 0[/latex], logo não existe x tal que f(x) = y para todo e qualquer y dado. Portanto a função não é sobrejetora.