Integral

por Abakuque Sex 29 maio 2015, 14:06

Olá Pessoal,

Alguém poderia me ajudar a resolver essa questão?
E se possível explicar passo a passo?

∫√4-x² dx

Obrigado galera!

por **mauk03** Sex 29 maio 2015, 15:36

Fazendo uma substituição trigonométrica que elimine o termo da raiz quadrada:
$x=2\sin \theta \Rightarrow dx=2\cos \theta d\theta$

Pois √(4 - (2sinθ)²) = √(4(1 - sin²θ)) = 2√(1 - sin²θ) = 2cosθ.

Assim:
$\int \sqrt{4-x^{2}}dx=\int \sqrt{4-4\sin^{2} \theta}2\cos \theta d\theta =\int 2\cos \theta 2\cos \theta d\theta =4\int cos^{2} \theta d\theta$ $=4\int \frac{1+cos 2\theta }{2}d\theta =2\left ( \theta +\frac{\sin 2\theta }{2} \right )=2\theta +\sin 2\theta$

Sabendo que
$\sin \theta =\frac{x}{2}\Rightarrow \theta =\arcsin \left ( \frac{x}{2} \right )$
$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2\sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$

Então:
$\int \sqrt{4-x^{2}}dx=2\arcsin \left ( \frac{x}{2} \right ) +x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$

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