PROBLEMA INTEGRAL DE LINHA

por gabrielaires567 Dom 24 maio 2015, 16:01

* Calcule a área limitada pelas curvas dadas 1/2 ∫c -ydx + xdy,
c: x= raiz(y) , y= 0, y= 3 - 2x

Tentei fazer aqui mais creio que esteja errada. coloquei assim :

1/2)(∫(0 a 1) 3/2 dy - ∫(0 a 1) -1dx )

isso deu 5/4

Alguém poderia me ajudar, como resolver esse problema ?

Grato pela atenção !

por **mauk03** Seg 25 maio 2015, 00:37

Região c:

O ponto A é a origem (0, 0).

O ponto B é intersecção de y = 3 - 2x com o eixo x, ou seja, (3/2, 0).

O ponto C é a intersecção de y = 3 - 2x com y = x², ou seja, (1, 1).

A região c pode ser dividida nas três seguintes regiões:
c1 (de A à B): y = 0 → x(t) = t, y(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 3/2 (sentido positivo)
c2 (de B à C): y = 3 - 2x → x(t) = t, y(t) = 3 - 2t, 1 ≤ t ≤ 3/2 (sentido negativo)
c3 (de C à A): x = √y → x(t) = t, y(t) = t², 0 ≤ t ≤ 1 (sentido negativo)

Assim:
$\int_{c}-ydx+xdy=\int_{c}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt$ $=\int_{c_{1}}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt+\int_{c_{2}}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt+\int_{c_{3}}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt$
$\int_{c_{1}}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt=\int_{0}^{\frac{3}{2}}\left ( -0\cdot 1+t\cdot 0 \right )dt=0$
$\int_{c_{2}}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt=-\int_{1}^{\frac{3}{2}}\left ( -(3-2t)\cdot 1+t\cdot (-2) \right )dt$ $=\int_{1}^{\frac{3}{2}}3dt=\left [ 3t \right ]_{1}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$
$\int_{c_{3}}\left ( -y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt} \right )dt=-\int_{0}^{1}\left ( t^{2}\cdot 1+t\cdot 2t \right )dt=\int_{0}^{1}\left -3t^{2}dt=\left [ -t^{3} \right ]_{0}^{1}=-1$
$\therefore \int_{c}-ydx+xdy=0+\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$