Vetores ! Por favor, da forma mais detalhada

por johnatta Sáb 23 maio 2015, 11:37

Dado o triângulo cujos vértices são A(1; 1), B(4; 0) e C(3; 4), determine:
(a) as projeções dos lados AC e BC sobre o lado AB.
(b) o pé da altura relativa ao vértice C.
(c) a área do triângulo ABC.
(d) A interseção da bissetriz do ângulo B com o lado AC.

por **Carlos Adir** Sáb 23 maio 2015, 11:48

Seu primeiro post, se atente ao Regulamento
Mais espeficamente devido ao título:

Regulamento escreveu:VII- Os nomes das mensagens devem refletir a natureza da pergunta. Palavras como socorro, ajuda, etc não serão aceitas.

Se a figura ajudar:
Vetores ! Por favor, da forma mais detalhada Lt7bPBi

Há diversas ferramentas:
$\\ \mathrm{Area \ conhecendo \ os \ lados:} \\ \mathrm{p=\dfrac{a+b+c}{2}} \\ \mathrm{Area = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\ \mathrm{Lei \ dos \ cossenos:} \\ \begin{cases}\mathrm{a^2=b^2+c^2-2bc \cdot \cos \beta} \\ \mathrm{b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \theta} \\ \mathrm{c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos \alpha} \end{cases} \\ \mathrm{Lei \ dos \ senos:} \\ \mathrm{\dfrac{a}{\beta}=\dfrac{b}{\theta}=\dfrac{c}{\alpha}}$
Tente fazer, caso não consiga, volte.

por johnatta Dom 24 maio 2015, 13:44

Sem sucesso... Estou com muita dificuldade e seria bom se fosse da forma mais detalhada possível ! Grato .

por **Carlos Adir** Dom 24 maio 2015, 16:47

Podemos utilizar aqueles artificios, mas creio que já vistes vetores, e com vetores fica bem mais fácil.
Temos os três vetores:
$\begin{cases}\mathrm{\overline{AB}=(3, \ -1)} \\ \mathrm{\overline{AC}=(2, \ 3)} \\ \mathrm{\overline{BC}=(-1, \ 4)} \end{cases}$
Com estes três vetores, podemos calcular quase tudo, produto vetorial e produto escalar.
Uma relação bastante conhecida é o cosseno entre dois vetores:
$\mathrm{\cos \theta=\dfrac{u \cdot v}{|u| \cdot |v|}}$
Podemos então achar o cossenos dos ângulos:
$\\ \mathrm{\cos \beta=\dfrac{(2, \ 3) \cdot (3, \ -1)}{\sqrt{3^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{2^2+3^2}}=\dfrac{2 \cdot 3 + 3 \cdot (-1)}{\sqrt{10} \sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{130}}{130}} \\ \mathrm{\cos \theta = \dfrac{(-3, \ 1) \cdot (-1, \ 4)}{\sqrt{(-3)^2+1^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+4^2}}=\dfrac{(-3)(-1)+1 \cdot (4)}{\sqrt{10}\sqrt{17}}=\dfrac{7\sqrt{170}}{170}}$
Podemos então achar as projeções:
$\\ \mathrm{proj_{AC \to AB}=|\overline{AC}| \cdot \cos \beta=\sqrt{13} \cdot \dfrac{3\sqrt{130}}{130}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}} \\ \mathrm{proj_{BC \to AC}=|\overline{BC}| \cdot \cos \theta=\sqrt{17} \cdot \dfrac{7\sqrt{170}}{170}=\dfrac{7\sqrt{10}}{10}}$
Lembrando que estes são os módulos.

A altura pode ser determinado como:
$\\ \mathrm{h=|\overline{AC}| \cdot sen \ \beta = \sqrt{13} \cdot \dfrac{11\sqrt{130}}{130}=\dfrac{11\sqrt{10}}{10}}$

E consequentemente a área:
$\\ \mathrm{Area= |\overline{AB}| \cdot h=\sqrt{10} \cdot \dfrac{11\sqrt{10}}{10}=11}$

Agora a bissetriz é somente utilizar calculos e mais calculos. Quem passou essa questão, foi pra ver os outros sofrerem tentando resolver.

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