Cálcular o limite

por Oliveira Sáb 25 Set 2010, 09:32

Calcular o limite de:

por **aryleudo** Sáb 25 Set 2010, 14:06

É só aplicar diretamente o limite indicado.
$\underset{x \rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1} = \frac{\sqrt[3]{0}-1}{\sqrt[4]{0}-1}= \frac{0-1}{0-1} = \frac{-1}{-1} = 1$

Agora se $\inline x\rightarrow 1$ teremos uma indeterminação. Assim necessitaremos ter um maior trabalho.
$\underset{x \rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}$

Veja como:
Considere
$x = a^{12}$
$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{a^{12}}=a^4$
$\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{a^{12}}=a^3$
$x=1\rightarrow a^{12}=1\Rightarrow a=1$

Ficamos com:
$\\\underset{a \rightarrow 1}{lim}\frac{a^4-1}{a^3-1}=\underset{a \rightarrow 1}{lim}\frac{(a-1)(a^3 + a^2 +a+1 )}{(a-1)(a^2 + a+1)}\\ \underset{a \rightarrow 1}{lim}\frac{a^4-1}{a^3-1}= \underset{a \rightarrow 1}{lim}\frac{a^3 + a^2 +a+1 }{a^2 + a+1}=\frac{1^3+1^2+1+1}{1^2+1+1}\\\underset{a \rightarrow 1}{lim}\frac{a^4-1}{a^3-1}=\frac{4}{3}$

por Oliveira Sáb 25 Set 2010, 16:26

Muito obrigado aryleudo, era "um" mesmo em vez de "zero", perdão!
so não entendi essa parte que x=1 --> a^12 = 1 --> a=1
abraço!

por **aryleudo** Sáb 25 Set 2010, 18:14

Oliveira,

Observe que mudei a variável de "x" para "a". Compreende?

Então também tenho que mudar "x --> 1" para "a --> 1". No nosso caso ambos "x" e "a" tenderam para um mesmo valor, mas isso é apenas uma coincidência poderia ser valor diferente por isso tenho que fazer a mudança. Entendeu?

Forte abraço,

Aryleudo (Ary)