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por leochip Seg 18 maio 2015, 22:58

Sejam as matrizes reais de ordem 2,

A= $\begin{pmatrix} 2+a_{} & a_{} \\ 1_{} & 1_{} \end{pmatrix}$
e
B= $\begin{pmatrix} 1_{} & 1_{} \\ a_{} & 2+a_{} \end{pmatrix}$
Então, a soma da diagonal principal de (AB)-¹ é igual a:
Gabarito é: (1/4)(5+2a+a²)

por littlemurilo Ter 19 maio 2015, 00:51

Primeiro calculamos o Produto AB:

$AB=\begin{pmatrix} a^2+a+2 & a^2+3a+2\\ a+1 & a+3 \end{pmatrix}\\$

Chamando A inversa de:

$AB^{-1}=\begin{pmatrix} c & d\\ e & f \end{pmatrix}\\\\\\$

Sabendo que:

$AB . AB^{-1} = I_2$

Temos:

$\begin{pmatrix} a^2+a+2 & a^2+3a+2\\ a+1 & a+3 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} c & d\\ e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\\\ \begin{pmatrix} c(a^2+a+2)+e(a^2+3a+2) & d(a^2+a+2)+f(a^2+3a+2)\\ c(a+1)+e(a+3) & d(a+1)+f(a+3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\\\$

Resolvendo os sistemas encontrarmos que a inversa é:

$AB^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{4}.(a+3) & -\frac{1}{4}(a^2+3a+2)\\ \\ -\frac{1}{4}.(a+1) & \frac{1}{4}(a^2+a+2) \end{pmatrix}$

Somando os elementos da diagonal Principal encontramos a resposta.

Há outra forma de encontrar a inversa só que eu não me lembro.

por leochip Sáb 30 maio 2015, 23:14

a forma como você desenvolveu eu também consegui, mas há um jeito através de determinante, esse pouparia tempo e evitaria possíveis erros. Entretanto, muito obrigado.

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