Trinômio e PA

Os coeficientes do trinômio x² + bx + c constituem, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão não nula r = q/2, onde q é a razão da progressão aritmética b² - 1, c² - b². Nestas condições podemos afirmar que o trinômio apresenta:

(A) uma raiz nula
(B) duas raízes reais distintas
(C) duas raízes iguais
(D) duas raízes complexas não reais
(E) uma raiz irracional

Gab: Letra D

Grato desde já.

victorguerra03 escreveu:Os coeficientes do trinômio x² + bx + c constituem, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão não nula r = q/2, onde q é a razão da progressão aritmética b² - 1, c² - b². Nestas condições podemos afirmar que o trinômio apresenta:

(A) uma raiz nula
(B) duas raízes reais distintas
(C) duas raízes iguais
(D) duas raízes complexas não reais
(E) uma raiz irracional

Gab: Letra D

Grato desde já.

Boa tarde, Victor,

q = (c² - b²) - (b² - 1) = c² - b² + b² + 1 = c² - 2b² + 1
r = q/2 = (c² - 2b² + 1)/2 ................. (I)

Coeficientes do trinômio:
1, b e c

razão da PA supra = b - 1 = c - b ...... (II)

Logo, podemos escrever, aplicando (I):
b - 1 = (c² - 2b² + 1)/2 .................... (III)

De (II), deduzimos:
b - 1 = c - b
c  = b - 1 + b
c = 2b - 1 ....................................... (IV)

Substituindo (IV) em (III), vem:
b - 1 = [(2b - 1)² - 2b² + 1]/2
2(b - 1) = 4b² - 4b + 1 - 2b² + 1
2b - 2 = 2b² - 4b + 2
2b² - 4b + 2 - 2b + 2 = 0
2b² - 6b + 4 = 0

Simplificando tudo por 2, fica:
b² - 3b + 2 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtém-se:
b' = 2
b'' = 1

c = 2b - 1
c'= 2*2 - 1 = 3
c" = 2*1 - 1 = 1

Aplicando esses valores de b e c à equação dada, temos:
x² + bx + c = 0
x² + 2x + 3 = 0 → ∆ = 2² - 4.1.3 = 4 - 12 → ∆ = -8 → ambas as raízes imaginárias
x² + x + 1 = 0 → ∆ = 1² - 4.1.1 = 1 - 4 → ∆ = -3 →idem

Alternativa (D)


Um abraço.