Duas polias e uma correia

O esquema abaixo representa duas polias, de centros O e C e raios de 4 cm e 1 cm, envoltas por uma correia sem folga. M, N, P e Q são pontos de tangência das partes retilíneas da correia nas respectivas polias, com m(MÔQ) = 120º



O comprimento da correia é:

a) (√3 + 10∏) cm
b) 6(√3 + ∏) cm
c) (√3/3 + 4∏) cm
d) (6√3 + 20∏) cm
e) (√3 + ∏) cm

Gabarito: letra b

Prolonguemos os segmentos MN e QP, chamando de A a interseção das semirretas resultantes.


Pela soma dos ângulos internos do quadrilátero OQAM, teremos que o ângulo NÂP mede 60º. A partir daí, pela soma dos ângulos internos no quadrilátero CPAN, teremos que o ângulo NC^P mede 120º. 

Agora vamos traçar o segmento OCA. Por simetria, sabemos que ele está contido na bissetriz do ângulo NÂP. Portanto, teremos a seguinte configuração, que é o que nos interessa a priori:

Aplicaremos as relações trigonométricas nos triângulos CNA e OMA:
\text{tg} \, 30^{\circ} = \frac{CN}{AN} \therefore \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{y} \Leftrightarrow y = \sqrt{3} \, \text{cm}
\text{tg} \, 30^{\circ} = \frac{OM}{AM} \therefore \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{x + \sqrt{3}} \Leftrightarrow x = 3\sqrt{3} \, \text{cm}

É evidente que o comprimento da polia é dado por:
L =  \widehat{MO'Q} + \overline{QP} + \widehat{PC'N} + \overline{MN}
Como o arco MO'Q tem abertura de 240º, seu comprimento será igual a 2/3 da circunferência que o contém. Igualmente, o arco NC'P mede 120º, donde medirá 1/3 da circunferência. Quanto aos segmentos MN e QP, ambos medem o valor de "x" que calculamos acima.
L = \frac{2}{3} 2 \pi \cdot 4 + 3 \sqrt{3} + \frac{1}{3} 2 \pi \cdot 1 + 3\sqrt{3} = 6 \left ( \sqrt {3} + \pi \right ) \, \text{cm}
(Perdão pela má qualidade de algumas das imagens, acho que a perda aconteceu quando fiz o upload...)