Dúvida gabarito de complexos

por **Nina Luizet** Qui 23 Abr 2015, 18:17

(UFRJ) Determine o menor inteiro n > 1 para o qual (V3+i)ⁿ é um número real positivo.
O cálculo eu fiz. No entanto, há diferentes gabaritos. Afinal, qual o gabarito correto?.

Gabarito₁= n=12 ; Gabarito₂= n= 6 - link= gabarito 2

Cálculo :

Mas eu vi uma resolução cujo término era assim:

Dúvida gabarito de complexos Ku3k9

Agradeço desde já a ajuda!.

por **Nina Luizet** Qui 23 Abr 2015, 18:28

Talvez isso sirva de auxílio para quem quiser me ajudar: tem uma questão cujo raciocínio é muito parecido e vai de encontro ao gabarito 2. É a assertiva 08, questão 32.
http://www.csajaboticabal.org.br/imagens/userfiles/files/FTD%203%C2%BAano/MATV454a63.pdf

por **Adeilson** Qui 23 Abr 2015, 21:36

Olá, o gabarito correto é n= 12. Como n é um inteiro positivo maior que 1 a possibilidade n = 0 está descartada, se tivéssemos n = 6 teríamos um número real puro, pois sen180°=0, entretanto, cos180°=-1, ou seja, teríamos um número real negativo, mas o enunciado quer um real positivo, assim o menor ângulo possível nas condições do problema será 360°, o que ocorre quando n= 12.

por **Elcioschin** Qui 23 Abr 2015, 22:28

z = √3 + i ---> z = 2.[√3/2 + i.(1/2)] ---> z = 2.(cos30º + i.sen30º)

z^n = 2^n.[cos(30º.n) + i.sen(30º.n)]

Para z^n ser real basta ---> sen(30º.n) = 0 --> 30º.n = 180º ---> n = 6

Para n = 6 ---> z^6 = 2^6.cos180º ---> z^6 = 64.(-1) ---> z^6 = - 64 (não serve pois é negativo)

sen(30º.n) = 0 ---> 30º.n = 360º ---> n = 12

Para n = 12 ---> z^12 = 2^12.cos360º ---> z^12 = + 2^12 ---> OK (positivo)

por **Ashitaka** Qui 23 Abr 2015, 22:38

Nina Luizet escreveu:(UFRJ) Determine o menor inteiro n > 1 para o qual (V3+i)ⁿ é um número real positivo.
O cálculo eu fiz. No entanto, há diferentes gabaritos. Afinal, qual o gabarito correto?.

Gabarito₁= n=12 ; Gabarito₂= n= 6 - link= gabarito 2

Cálculo :

Mas eu vi uma resolução cujo término era assim:

Agradeço desde já a ajuda!.

Nina, a resposta é 12. E sua resolução está incorreta. Ao elevar z à potência k, a expressão não fica como você escreveu e não se deve colocar i depois do seno pois dá a entender que é o seno de um complexo, o que não é o caso.

por **Nina Luizet** Sex 24 Abr 2015, 17:17

Agradeço a todos pelas resoluções !.

por **Nina Luizet** Sex 24 Abr 2015, 17:23

Olá Ashitaka. Entendi a parte do seno que você especificou. Mas no caso, qual seria a expressão correta?
zⁿ = 2ⁿ ( cos πpi/6 + i . sen . πpi/6 ) , seria isso ?.

por **Ashitaka** Sex 24 Abr 2015, 19:16

Eu uso uma notação diferente: cosx + isenx = cisx. O correto seria:
z = |z|(cosx + isenx) = |z|cisx
zⁿ = |z|ⁿ[cos(nx) + isen(nx)] = |z|ⁿcis(nx).

por **Nina Luizet** Seg 27 Abr 2015, 13:59

Ashitaka escreveu:Eu uso uma notação diferente: cosx + isenx = cisx. O correto seria:
z = |z|(cosx + isenx) = |z|cisx
zⁿ = |z|ⁿ[cos(nx) + isen(nx)] = |z|ⁿcis(nx).

Vlw, Ashitaka !. Razz