Limites 6

por ViniciusAlmeida12 Ter 21 Abr 2015, 15:21

$Limites 6 Gif$

Tentativa de resolução:

- Dividindo em dois limites

$Limites 6 Gif$ * $Limites 6 X%7D$

- Dividindo o numerador e o denominador do segundo limite por (1/x)
$Limites 6 Gif$ * $Limites 6 X%7D$

- Pelo limite trigonométrico fundamental --> lim sen(1/x)/(1/x) = 1

$Limites 6 Gif$ * $Limites 6 X$

- Juntando os limites novamente
$Limites 6 X$

$Limites 6 Gif$ = 1

Mas segundo o gabarito a resposta é 0. Qual meu erro?

por PedroCunha Ter 21 Abr 2015, 15:46

Olá, Vinicius.

Tem dois caminhos para resolver esse problema.

Você escolheu o mais difícil. Veja:

\\ \lim_{x \to 0} x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) \therefore \frac{x}{x} \lim_{x \to 0} x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) \therefore \lim_{x \to 0} x^2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x}} \\\\ = 0 \cdot 1 = 0

*Seu erro foi tentar juntar os limites após você já ter aplicado o limite fundamental*

O mais fácil é pelo Teorema do Confronto:

\\ -1 \leq \sin \left( \frac{1}{x} \right) \leq 1 \therefore -x \leq x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) < x \\\\ \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} - x = \lim_{x \to 0} x = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0 } x \cdot \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0

Abraços,
Pedro

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