Achar lado BC do Trapézio

As bases AB e DC do trapézio representado na figura abaixo medem 30cm e 80cm. Sabendo que o ângulo A^BC é o dobro do ângulo, C^DA, calcular a medida do lado BC em centímetros.



Gabarito: 50 cm

a soma dos ângulos do trapezio é 360 

os ângulos de cima valem 2x cada , e os de baixo vale x

2x+2x+x+x=360
x=60 

agora traçando , duas retas AF e BE encontraremos :
um triângulo retangulo BÊC,com B^CE medindo 60 .
e com EC medindo 25.

cos 60=25/BC
1/2=25/bc
bc=50

Mhiime

O desenho mostra que o trapézio não é isósceles, logo você não pode considerar os ângulos iguais dois a dois.

Sejam:

BC = x
AD = y
A^DC = d ---> A^BC = 2.d

B^CD = 180º - A^BC ---> B^CD = 180º - 2d 

Trace as alturas AA' e BB' em relação a CD

∆ retângulo BB'C ---> B'C = BC.cosB^CD ---> B'C = x.cos(180º - 2d) ---> B'C = - x.cos(2d)

BB' = BC.sen(180º - 2d) ---> BB' = x.sen(2d)

∆ retângulo AA'D ---> A'D = AD.cosB^DC ---> A'D = x.cosd

AA' = AD.send ---> AA' = y.send

BB' = AA' ---> x.sen(2d) = y.send ---> x.(2.send.cosd) = y.send ---> y = 2.x.cosd

A'D + A'B' + B'C = 80 ---> y.cosd + 30 - x.cos2d = 80 --->

(2x.cosd).cosd - x.cos(2d) = 50

2.x.cos²d - x.(2.cos²d - 1) = 50 ---> x = 50

entendido , eu achei que poderia considerar o seguinte:

Considere o ângulo A^DA' igual a d 

tg d= AA'/25


Considere agora B^CB' IGUAL A Z

tg z= BB'/25 

COMO AA' E BB' tem as mesmas medidas pois é um retângulo , 

tg z=AA'/25

então como tg d=AA'/25 e tg z=AA'/25

então o ângulo d mede a mesma medida que z 

por que meu pensamento está errado ?

tgd = AA'/AD ---> De onde você concluiu que AD = 25 ?

tgZ - BB'/BC ---> idem?

Só seria 25 se o ponto A' coincidisse com B' no ponto médio de C e D

E não é ---> lembre-se que A' e B' são os pés da perpendiculares de A e B sobre CD, logo são pontos diferentes

Isso que eu pensei : desenhado é melhor , ai com isso achei que podia concluir que o trapezio ia ser isósceles

outro modo:

Muito obrigado pessoal!!! 
:LLamp:

Raimundo

Excelente sua solução simplificanda, construindo o paralelogramo.
Vou fazer apenas uma ressalva:

Não se pode concluir, da figura, que o ângulo B^CD = x (se fosse, o trapézio seria isóscekes).
O máximo que se pode concluir é que B^CD = 180º - 2x
Neste caso o triângulo CDB é isósceles ---> BC = CD = 50

Entendido , obrigado !
eu tinha pensado que como a tg vai ser igual , os angulos seriam igual e o trapezio se tornaria isosceles .