Polinômios com raízes múltiplas
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Polinômios com raízes múltiplas
por Winschistorff von Belone Dom 12 Abr 2015, 15:05
Determine o polinômio P(x) de grau 5 tal que P(x)+1 é divisível por (x-1)^3 e P(x)-1 é divisível por (x+1)^3 .
continuação:
A minha dúvida é a seguinte. Como que se conclui que(x-1)^3 divide P(-x)-1 e (x+1)^3 divide P(-x)+1?
continuação:
A minha dúvida é a seguinte. Como que se conclui que
Winschistorff von Belone- Iniciante
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Re: Polinômios com raízes múltiplas
por ScienceRocks! Ter 21 Jul 2015, 11:38
- Como se conclui que (x-1)³|P(-x)-1 ?
Observe que:
P(x)+1=(x-1)³.Q(x)
P(x)-1=(x+1)³.Q'(x)
Daí P(-x)-1=(-x+1)³.Q'(x) → P(-x)-1=(-1)(x-1)³.Q'(x), isto é, P(-x)-1=(x-1)³.Q''(x) . Portanto, (x-1)³|P(-x)-1 , onde Q''(x)=-Q'(x)
De modo analogo prova-se a outra duvida. Caso tenha dificuldade, avise.
PS: A notação Q"(x) nao se refere a segunda derivada de Q(x). Quero dizer, eu coloquei essa aspa ( " ) apenas para diferenciar os quocientes.
Observe que:
P(x)+1=(x-1)³.Q(x)
P(x)-1=(x+1)³.Q'(x)
Daí P(-x)-1=(-x+1)³.Q'(x) → P(-x)-1=(-1)(x-1)³.Q'(x), isto é, P(-x)-1=(x-1)³.Q''(x) . Portanto, (x-1)³|P(-x)-1 , onde Q''(x)=-Q'(x)
De modo analogo prova-se a outra duvida. Caso tenha dificuldade, avise.
PS: A notação Q"(x) nao se refere a segunda derivada de Q(x). Quero dizer, eu coloquei essa aspa ( " ) apenas para diferenciar os quocientes.
ScienceRocks!- Padawan
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