Triângulos

Na figura abaixo temos que: A'C = BC/3; B'A = CA/3; C'B = AB/3, a razão MN/AA' é:

a) 1/2
b) 2/5
c) 3/7
d) 4/9
e) 5/9

Certo mestre, mas como o sr. soube que AC' = A'B = B'C ? Outra coisa, como sr. achou a razão AM/AA'? Pois eu achei a razão AA'/NA', o que talvez dê para achar...

1 - Observe que cada lado do triâng. ficou divido em 3 parte iguais ( do enunciado). A área de ABC fica divida em 3 parte iguais , qualquer que seja o lado. Não coloquei no desenho para não enchê-lo muito . Ligue  os pontos vermelhos simbolizados nos lados,  e una-os ao vértice oposto, fica mais fácil de ver.

2 - a razão AM/ AA" aplique Menelaus no triâng. AA"C cortada por  BB".
A'B=2x A'C=x --- AB'=y , B"C=2y e BC'=z AC'=2z 

MA/MA'.BA'/BC.BC'AB'=1---->AM/MA'. 2x/5x. 2y/y=1---->AM/MA' .4 =5--->AM/MA'=5/4

(AM+MA')/MA'(5+4)/4---->AM=4AA'/9

Note que AM+MA'=AA'