determinação de constantes

por ThaisP Qui 02 Abr 2015, 12:47

determine as constantes a,b e L para que a função abaixo seja contínua em R

f(x)= x² + ax +3 / (x-1) se x menor 1

f(x) = L se x=1

f(x)= bx + 4 se x maior que 1

gabarito
a=-4
b=-6
L=-2

por PedroCunha Qui 02 Abr 2015, 15:18

Olá, ThaisP.

Para a função ser contínua devemos ter:

\\ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = f(1) . Com isso em mente:

\\ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^2 + ax+3}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{(x-1) \cdot (x + (a+1) ) + (a+4)}{x-1}

Para esse limite existir, é preciso que 1 seja raiz do numerador, ou seja, a +4 = 0 \therefore a = -4 , pois caso contrário teríamos uma indeterminação. Para a = -4 , o limite vale:

\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{(x-1) \cdot (x - 4 + 1) + (-4+4)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} x-3 = -2

Continuando:

\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} bx+4 = b + 4

Da condição de continuidade, temos:

\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = f(1) \therefore -2 = b+4 = L \Leftrightarrow b = -6

Logo, os valores das constantes são: \\ a = -4, b = -6, L = -2

Att.,
Pedro