Inequação

Como resolvo x^2 + 2 x + 4 > 0       e   x^3 + 1 < x^2 + x ?

pedro.louredo escreveu:Como resolvo x^2 + 2 x + 4 > 0       e   x^3 + 1 < x^2 + x ?

Pedro, a resolução de inequações precisa da análise gráfica.
O gráfico dessa parábola é feito da seguinte maneira.
Concavidade voltada para cima, a > 0
Corta o eixo vertical subindo, b > 0
Corta o eixo vertical no valor 4, c = 4
Cálculo do delta, 2² - 4.1.4 = -12 < 0 Não corta o eixo horizontal.
Logo, para qualquer x, a função é sempre positiva.

A segunda, podemos colocar alguns termos em evidência e chegar na solução.
Escreva x³ - x² - x + 1 < 0
Coloque x² em evidência com x³. 
x²(x - 1) - (x - 1) < 0
Ponha x - 1 em evidência.
(x - 1).(x² - 1) < 0
(x - 1).(x - 1).(x + 1) < 0
Observe que, para x > 1, a função resultará em um número maior que 0.
Observe que, para -1 < x < 1, temos dois fatores negativos, o que resulta em um valor positivo.
Logo, para x < -1, teremos resultados negativos.