Segmento de reta e deslocamento

por Mefistófeles Seg 23 Mar 2015, 19:19

Pessoal, há algum modo de resolver essa questão de modo algébrico (sem dedução)?

45. (Ufc) Um segmento de reta desloca-se no plano
cartesiano de tal forma que uma de suas
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu
ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a
sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:
a) circunferência.
b) parábola.
c) reta.
d) elipse.
e) hipérbole.

Forma-se um elipse.

Muito obrigado.

por **Euclides** Ter 24 Mar 2015, 02:20

Suponhamos um segmento de tamanho igual a k. A extremidade no eixo y será o ponto A e a outra extremidade será B. O ponto no eixo x será M, ponto médio de AB.

Em qualquer posição as coordenadas desses pontos serão:

$A(0,y)\;\;\;\;\;\;M(x/2,0)\;\;\;\;\;\;B(x,-y)$

Segmento de reta e deslocamento Art_142

como o tamanho do segmento é constante, podemos escrever

$\\k^2=x^2+(2y)^2\;\;\;\to\;\;\;1=\frac{x^2}{k^2}+\frac{4y^2}{k^2}\;\;\to\;\;\boxed{1=\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{\left (\frac{k}{2}} \right )^2}$

que é a equação de uma elipse com eixo maior horizontal