Equação do lugar gerado pelo ponto

por emerson3015 Sáb 21 Mar 2015, 12:14

Pessoal, estou em duvida nessa questão: um ponto P(x,y) que se move de modo que a soma de suas distancias aos eixos de coordenadas é igual ao quadrado de sua distancia a origem. determinar a equação do lugar gerado pelo ponto.

por **Carlos Adir** Sáb 21 Mar 2015, 12:32

P = (x,y)
O = (0,0)
d(P, O) = Distância do ponto P ao ponto O
d(P, EixoX) = Distância do ponto P ao eixo X

Pelo enunciado temos:
$d(P, \ EixoX)+d(P, \ EixoY)=\left[d(P, \ O) \right ]^2$

Desenvolvendo temos:
$\\ y+x=\left[\sqrt{x^2+y^2} \right ]^2 \\ y+x = x^2 + y^2 \\ y^2 - y +x^2-x=0$

Vamos para alguns pontos:
Se x = 0 ---> y²=y ---> y=1 ou y=0
Se x = 1 ---> y²=y ---> y=1 ou y=0
Se x= 2 ---> y²+2=y ---> y não é real

Enfim, completemos os quadrados:
$\\ y^2 - y +x^2-x=0 \\ \left[y^2 - 2 \cdot \left(y \right ) \cdot \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2} \right )^2 \right ]+ \left[x^2 - 2 \cdot \left(y \right ) \cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )+\left(\dfrac{1}{2} \right )^2 \right ]- 2 \times \left(\dfrac{1}{2} \right )^2=0 \\ \left(y - \dfrac{1}{2} \right )^2 + \left(x - \dfrac{1}{2} \right )^2 = \dfrac{1}{2}$

Isto indica que é uma circunferência de centro C=(1/2, 1/2) e raio (√2)/2

Equação do lugar gerado pelo ponto NZ6PSqM

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