Calculo Integrais

por neoreload Sáb 14 Mar 2015, 03:26

Pessoal estou sem saber fazer essa questão que é pra achar o volume usando integral:

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:

y = ln(x), y = −1, y = 2, x = 0

Resposta:

Estou bem no inicio da disciplina, se possível colocar o passo de maneira simples, pq fiquei sem entender, e gostaria de entender bem. Eu sei que usa a integral, mas não estou sabendo usar a formula. Estou precisando dessa pra continuar os estudos

por **Mimetist** Sáb 14 Mar 2015, 12:27

Podemos considerar para a resolução o método dos discos. Esse método se usa geralmente quando integramos paralelamente ao eixo de revolução.

Como a revolução se dará no eixo y e em torno da reta x=0, podemos considerar um disco circular de raio r(y). Como foi dada a curva y(x)=ln(x) (limitada pelas retas dadas), temos que encontrar a inversa que determinará r(y).
Assim,

y(x)=ln(x) \rightarrow x(y)=e^y

A área do disco em questão é A(y)=\pi r(y)^2=\pi (e^{y})^{2}

E o volume do sólido formado rotacionando a área situada entre as regiões que limitam a curva é (os limites de integração foram encontrados a partir das curvas limitantes) :

V(y)=\int_{-1}^{2} \! \pi r(y)^2 \, \mathrm{d}y=\int_{-1}^{2} \! \pi e^{2y} \, \mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}(e^{2y})|_{-1}^{2} \therefore \boxed {V=\frac{\pi}{2}(e^{4}-e^{-2})}

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