Definição de limites - provar

Prove que o limite   existe

Tentativa de resolução:


Para que o limite exista deve haver um ε > 0 para todo ∂ > 0 tal que 0 < |x-3| < ∂ se |(x² + x - 4) - 8| < ε. 

Desenvolvendo a segunda desigualdade e conjecturando um valor para ∂:
 |(x² + x - 4) - 8| < ε
 |x² + x - 12| < ε
 |(x-3)(x+4)| < ε
|x-3||x+4| < ε

|x-3| < ε/|x+4|

Verificando que |x-3| < ε/|x+4| e que |x-3| < ∂ então ∂ = ε/|x+4| 


Provando que a conjectura é verdadeira:

|x-3| < ∂ = ε/|x+4| 
|x-3| <  ε/|x+4| 
|x-3||x+4| < ε
|x² + x - 12| < ε

|(x² + x - 4) - 8| < ε


Portanto, o limite existe e é igual a 8. 


Minha resolução está correta? Fiquei em dúvida porque vi uma forma de resolver diferente no gabarito do livro.

Não está correto, pois o delta só pode depender do epsilon e não do "x".


vc terá que supor δ=1, para que  |x-3|<1  <->   2 < x < 4  , então se esboçares a função "|x+4|" neste intervalo verá que 6<|x+4|<8 , então segue de propriedades de desigualdades :


|x-3|*|x+4| <  |x-3|*8< ε   <->  |x-3|<ε/8


então basta tomar  δ=ε/8 , com isso temos dois valores de delta : 1 e  ε/8  só vamos precisar do menor valor , logo deltamin=(1 ,  ε/8 ) , verifique que a escolha  "ε/8" satisfaz o problema.Uma observação a ser feita é que o delta não é único, pois se tivéssemos limitado delta por 1/2 , 1/4 iríamos obter outros valores, então perceba que a definição pede qualquer delta>0 e este não é necessariamente único.

Entendi! Muito obrigado.