Provar o limite pela definição

por Gregorio Tomas S Gonzaga Qui 27 Jul 2017, 10:53

Prove, através de delta e epson, para todo a real que

$\lim_{x\rightarrow a}x^2=a^2$

por Matemathiago Qui 27 Jul 2017, 11:10

f(x) = x² é contínua em x =a

Logo, lim f(x) = f(a)
x->a

lim x² = a²
x->a

por Gregorio Tomas S Gonzaga Qui 27 Jul 2017, 11:16

Matemathiago, olha o título do tópico.

Provar através da definição de limites!

por Gregorio Tomas S Gonzaga Qui 27 Jul 2017, 11:34

Matemathiago escreveu:f(x) = x² é contínua em x =a

Logo, lim f(x) = f(a)
x->a

lim x² = a²
x->a

Matemathiago, olha o título do tópico.

Provar através da definição de limites, por epson e delta

por Matemathiago Qui 27 Jul 2017, 12:25

Sejam k e b números muito pequenos positivos.

Provar que para todo k>0 há um b>0 tal que:

0< |x-a| < k então |x² - a²| < b

Do segundo:
a² -b < x² < a²+b
raiz de (a²-b) < |x| < raiz de (a² +b)

Como x = a pertence ao intervalo acima, concluímos que a função é contínua e consequentemente a igualdade inicial, verdadeira.

por Gregorio Tomas S Gonzaga Qui 27 Jul 2017, 13:40

Matemathiago escreveu:Sejam k e b números muito pequenos positivos.

Provar que para todo k>0 há um b>0 tal que:

0< |x-a| < k então |x² - a²| < b

Do segundo:
a² -b < x² < a²+b
raiz de (a²-b) < |x| < raiz de (a² +b)

Como x = a pertence ao intervalo acima, concluímos que a função é contínua e consequentemente a igualdade inicial, verdadeira.

muito obrigado!

por RioBrancoabcRetorna Sáb 29 Jul 2017, 14:10

Matemathiago escreveu:Sejam k e b números muito pequenos positivos.

Provar que para todo k>0 há um b>0 tal que:

0< |x-a| < k então |x² - a²| < b

Do segundo:
a² -b < x² < a²+b
raiz de (a²-b) < |x| < raiz de (a² +b)

Como x = a pertence ao intervalo acima, concluímos que a função é contínua e consequentemente a igualdade inicial, verdadeira.

Matemathiago
Nesse caso você tentou mostrar que a função possui tal limite, mas não sua continuidade. Ali deveria ser |x-a| < k e não 0< |x-a| < k.
Deveria constatar na sua demonstração que b deve ser menor que a^2.
Você não mostrou que tal delta (k) existe. Assim sendo, ele deveria ser o mínimo entre (a^2+b)^(1/2) e (a^2-b)^(1/2), e ainda dependeria do ponto onde quer se provar a continuidade (se é positivo, negativo ou zero).

por **Emanuel Dias** Qua 12 Ago 2020, 06:18

Se para um epsilon, existe um delta, pelo menos um por maior ou menor que seja, que satisfaça a definição, a função é contínua em certo ponto P, se provarmos para um P qualquer provamos para todo domínio, um delta evidente é ξ/|x-p| se existe pelo menos esse, já provamos.