Transformações trigonométricas.

por Renan Phoenix Sex 06 Mar 2015, 23:49

Sabendo que sen 4a = 1/4 e 0 < 4a < ∏, determine o valor de sen 2a, cos 2a e tg 2a.

Gabarito: sen 2a = √15/8; cos 2a = 7/8 e tg 2a = √15/7

por Convidado Sáb 07 Mar 2015, 02:06

Esse gabarito não bate, não. Se você usar a calculadora:

sen(4a)=1/4 --> 4a=14,48° --> 2a=7,12°

sen(7,12)=0,126

raiz(15)/8 = 0,484

cos(7,12)=0,992

7/8 = 0,875

sen(4a)=2sen(2a).cos(2a)
1/4=2sen(2a).raiz[1-sen²(2a)]
..
..
1/16=4sen²(2a)(1-sen²(2a))

y²=sen²(2a)

1/16=4y-4y²

vai dar outra coisa...

por **Carlos Adir** Sáb 07 Mar 2015, 08:13

O gabarito está errado.
$\\ sen \ 4 a = 2 \cdot sen \ 2a \cdot cos \ 2a \Rightarrow sen \ 4 a = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{15}}{8} \cdot \dfrac{7}{8} =\dfrac{7\sqrt{15}}{32} \ne \dfrac{1}{4}$

Vamos calcular então:
$\\ sen \ 4 a = 2 \cdot sen \ 2a \cdot cos \ 2a \\ \Rightarrow \dfrac{1}{4}=2 \cdot sen \ 2a \cdot \sqrt{1-sen^2 \ 2a} \\ \Rightarrow 1 - sen^2 \ 2a = \dfrac{1}{64sen^2 \ 2a} \\ \Rightarrow sen^4 \ 2a - sen^2 \ 2a+\dfrac{1}{64}=0 \\ \Rightarrow sen^2 \ 2a = \dfrac{1 + \sqrt{1^2-4 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{64}}}{2} \\ \Rightarrow sen \ 2a = \sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{15}}{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{4+\sqrt{15}}{8}}$

Podemos racionalizar:
$\\ sen \ 2a = \sqrt{\dfrac{4+\sqrt{15}}{8}}=\dfrac{\sqrt{8+\sqrt{60}}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{4}$

Agora o cosseno:
$cos \ 2a = \sqrt{1-sen^2 \ 2a}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4} \right )^2}=\dfrac{\sqrt{8-\sqrt{60}}}{4}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}$

Tangente:
$tan \ 2a = \dfrac{sen \ 2a}{cos \ 2a}=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4} \right )}{\left(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}\right)}=\dfrac{8+2\sqrt{15}}{4}$

Teve umas partes que "reduzi" a raiz dupla. Isto é, se eu tenho uma raiz dupla, dá pra transformar como soma de radicais do modo:
$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y}; \ \ \ \ \ a, \ b, \ x, \ y \in \mathbb{R^+}; \ \ \ \ a^2 \ge b$

Manipulando obtemos:
$\\ a\pm\sqrt{b}=\left(x+y \right )\pm \sqrt{4xy} \Rightarrow \begin{cases}a=x+y \\ b=4xy \end{cases} \\ \Rightarrow b=4x(a-x) \Rightarrow x=\dfrac{a \pm \sqrt{a^2-b}}{2} \\ \Rightarrow \begin{cases}x=\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} \\ y=\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2} \end{cases} \\ \Rightarrow \sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

por Renan Phoenix Sáb 07 Mar 2015, 23:20

Por que

?
A fórmula não seria esta: cos 2a = 1 - 2.sen² a.

por **Carlos Adir** Dom 08 Mar 2015, 07:19

A soma dos quadrados do seno e cosseno dá 1:
$\\ \left(cos \ 2a \right )^2 + \left(sen \ 2a \right )^2=1 \\ cos^2 \ 2a + sen^2 \ 2a = 1 \\ cos^2 \ 2a = 1 - sen^2 \ 2a \\ cos \ 2a = \sqrt{1-sen^2 \ 2a} \\ cos \ 2a = \sqrt{1-\left(sen \ 2a \right )^2}$

A notação abaixo está correta:
$\left(sen \ b \right )^2 = sen^2 \ b$
A notação abaixo está errada:
$\left(sen \ b \right )^2 \ne sen \ b^2$

por Renan Phoenix Seg 09 Mar 2015, 21:55

No cálculo da tan 2a, o meu resultado ficou diferente do seu, se você puder mostrar onde eu errei eu agradeço.

Meu resultado:

Transformações trigonométricas. 2h3zvo9