Transformaçoes trigonométricas

por juscas10 Qui 06 maio 2010, 17:54

Demonstre que 1 - cos x / 1 + cos x = tg² x/2

por **Euclides** Qui 06 maio 2010, 19:14

$\\sen(a+b)=sen\,a.cos\,b+sen\,b.cos\,a\\cos(a+b)=cos\,a.cos\,b-sen\,b.sen\,a\\\\\text{fazendo }a=b\\\\sen\,2a=2sen\,a.cos\,a\\cos\,2a=cos^2a-sen^2a$

Fazendo duas substituições na expressão do cosseno do arco duplo

$\\ {\color{blue} cos\,2a}=cos^2a-(1-cos^2a)\to {\color{blue} 2cos^2a-1}\\ {\color{blue} cos2a}=1-sen^2a-sen^2a\to {\color{blue} 1-2sen^2a}$

fazendo $\\2a=x$

$\\cos\,x=2cos^2(x/2)-1\\\\cos\,x=1-2sen^2(x/2)$

$\\cos\,x=2cos^2(x/2)-1\hspace {20}\to cos^2(x/2)=\frac{1+cos\,x}{2}\\\\cos\,x=1-2sen^2(x/2)\hspace{20}\to sen^2(x/2)=\frac{1-cos\,x}{2}$

finalmente

$tan^2(x/2)=\frac{1-cos\,x}{1+cos\,x}$

por **Elcioschin** Qui 06 maio 2010, 23:20

[1 - cosx]/[1 + cosx] = [1 - (cos²x/2 - sen²x/2)]/[1 + (cos²x/2 - sen²x/2)] =

[(1 - cos²x/2) + sen²x/2]/[(1 - sen²x/2) + cos²x/2] =

[sen²x/2 + sen²x/2]/[cos²x/2 + cos²x/2] = 2*sen²(x/2)/2*cos²(x/2) =

sen²(x/2)/cos²(x/2) = tg²(x/2)