Potenciação

por Giovane Sáb 28 Fev 2015, 12:19

Os inteiros a, b c, d e A são tais que a² + A = b² e c² + A = d². Sobre o número 2(a + b).(c + d).(ac + bd - A) podemos afirmar que:

a) é um quadrado perfeito
b) é um cubo perfeito
c) é a quarta potência de um natural
d) depende de A
e) depende de a, b, c e d.

Gabarito: letra a

por **Carlos Adir** Sáb 28 Fev 2015, 14:45

$\\ a^2+A=b^2 \Rightarrow A=b^2-a^2 \Rightarrow A=(b-a)(b+a) \\ c^2+A=d^2 \Rightarrow A=d^2-c^2 \Rightarrow A=(d-c)(d+c) \\ \Rightarrow (b-a)(b+a)=(d-c)(d+c)$

Então temos que:

$2(a+b)(c+d)=2 \cdot \dfrac{A}{b-a} \cdot \dfrac{A}{d-c}$
$ac+bd=(b-a)(d-c)+ad+bc$

$\\ 2(a+b)(c+d)(ac+bd-A)=2 \cdot \dfrac{A^2}{(b-a)(d-c)}\left[(b-a)(d-c)+ad+bc -A\right ]= \\ =A^2\left[2+2 \cdot \dfrac{ad+bc-A}{(b-a)(d-c)} \right ]$

Vamos resolver dentro dos colchetes:
$2+2 \cdot \dfrac{ad+bc-A}{(b-a)(d-c)}=2 \cdot \dfrac{(b-a)(d-c)+ad+bc-A}{(b-a)(d-c)}=2 \cdot \dfrac{ac+bd-A}{(b-a)(d-c)}$
$\\ =2 \cdot \dfrac{ac+bd-A}{(b-a)(d-c)}= \dfrac{2ac+2bd-(b+a)(b-a)-(d-c)(d+c)}{(b-a)(d-c)} = \\ = \dfrac{2ac+2bd-b^2+a^2-d^2+c^2}{(b-a)(d-c)}=\dfrac{(a+c)^2-(b-d)^2}{(b-a)(d-c)} = \\ = \dfrac{(a+c+b-d)(a+c-b+d)}{(b-a)(d-c)}$

$\\ A^2 \left[\dfrac{(a+c)^2-(b-d)^2}{(b-a)(d-c)} \right ]= (a+b)(c+d)\left[(a+c)^2-(d-b)^2 \right ]$

Logo, temos:
$2(a+b)(c+d)(ac+bd-A)=(a+b)(c+d)\left[(a+c)^2-(d-b)^2 \right ]$

Cheguei nisto, não tenho ideia de como continuar.

por Giovane Dom 01 Mar 2015, 14:08

Obrigado. Darei uma olhada e tentarei continuar.

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