Fatoração!

(Colégio Naval) Efetue, dando a resposta em sua forma mais simples: 

\\ \frac{a}{(a-b) \cdot (a-c)} + \frac{b}{(b-c) \cdot (b-a)} + \frac{c}{(c-a) \cdot (c-b)}

a) \\ a+b+c
b) \\ a^2+b^2+c^2
c) \\ 0  
d) \\ 1

Ah, e a resposta é: letra c
 
Muito obrigado, desde já!!

Olá.

Na primeira fração, ficaremos com:

a*(b-c)*(b-a)*(c-a)*(c-b) .:. a*(b-c)*[-(b-c)]*(b-a)*(c-a) .:. -a*(b-c)²*(b-a)*(c-a)

Na segunda fração:

b*(a-b)*(a-c)*(c-a)*(c-b) .:. b*(a-c)*[-(a-c)]*(a-b)*(c-b) .:. -b*(a-c)²*(a-b)*(c-b)

Na terceira fração:

c*(a-b)*(a-c)*(b-c)*(b-a) .:. c*(a-b)*[-(a-b)]*(a-c)*(b-c) .:. -c*(a-b)²*(a-c)*(b-c)

Veja que todos os termos que aparecem são semelhantes, alguns com sinal invertido, outros não. Vamos deixar todos iguais. Vamos tentar igualar a segunda e a terceira fração à primeira.

Primeira: -a*(b-c)²*(b-a)*(c-a)
Segunda: -b*(a-c)²*(a-b)*(c-b) .:. -b*(c-b)*(a-b)*(a-c)² .:. -b*[-(b-c)]*[-(b-a)]*[(c-a)²] .:. -b*(b-c)*(b-a)*(c-a)²
Terceira: -c*(a-b)²(a-c)*(b-c) .:. -c*(b-c)*(a-b)²*(a-c) .:. -c*(b-c)*[(b-a)²]*[-(c-a)] .:. c*(b-c)*(b-a)²*(c-a)

Então, teremos no numerador:

-a*(b-c)²*(b-a)*(c-a) - b*(b-c)*(b-a)*(c-a)² + c*(b-c)*(b-a)²*(c-a) .:. 
(b-c)*(b-a)*(c-a)* [ -a*(b-c) - b*(c-a) + c*(b-a) ] .:. 
(b-c)*(b-a)*(c-a)* [ -ab + ac - bc + ab + bc - ac ] = 0

Ou seja, simplificando, chegamos em zero. Pouco importa o denominador.

Att.,
Pedro

Amigo Pedro, muito obrigado mesmo!! Valeu!!

Precisando estamos aí!