Equação Modular

por Tiomatheus1391 Dom 08 Fev 2015, 18:07

Determinar o valor mínimo da função f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|, sabendo que
a < b < c < d

Gabarito: d+c-(a+b)

por **Carlos Adir** Dom 08 Fev 2015, 20:22

$\\ f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d| \\ a<b<c<d$
Vamos dividir os casos:
$\\ (I) \ \ \ \ \ \ x<a \\ (II) \ \ \ \ \ a<x<b \\ (III) \ \ \ \ b<x<c \\ (IV) \ \ \ \ \ c<x<d \\ (V) \ \ \ \ \ \ d<x$

$\\ (I) \ \ \ \ \ \ \ f(x)=\left(a+b+c+d \right )-4x \\ (II) \ \ \ \ \ f(x)=\left(-a+b+c+d \right ) -2x \\ (III) \ \ \ \ f(x)=\left(-a-b+c+d \right ) \\ (IV) \ \ \ \ \ f(x)=\left(-a-b-c+d \right )+2x \\ (V) \ \ \ \ \ \ f(x)=\left(-a-b-c-d\right)+4x$

Como apenas o terceiro caso não depende de x, então ele é.
Um exemplo é o seguinte, com o gráfico com dois números apenas:
Equação Modular IRmQNjK

Entre os pontos, temos que a função é constante, e consequentemente, não importando os valores de x, o mínimo será:
(c+d)-(a+b)

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