Inequações logarítmicas

O que acontece quando multiplicamos uma inequação por uma incógnita?
Como saber se devemos inverter a desigualdade?

Estou resolvendo uma questão e dependendo o que se faça a partir de um ponto,
apresenta resultado diferente, provavelmente estou esquecendo de algum detalhe,
mas não sei qual é :s

X^log(3)(x)<=9x

log(3)(x)=log de x na base 3

Considere log(3)(x)=y

Desenvolvendo a equação, chega-se no seguinte ponto:

y<=(2/y)+1

Nesse ponto, eu sempre passo os membros para um lado, assim
eu não preciso multiplicar pela incógnita, como eu não sei se ela é negativa
ou positiva.

Fica (y^2-y-2)/y<=0


Isso é uma inequação quociente, fazendo o jogo de sinais, chega-se que 0
Relembrando que log(3)(b)=y, fica que 0
1
Porém, a resposta é de 1/3 a 9, os gráficos das funções mostram isso.

Entretanto, se naquela etapa y<=(2/y)+1, fizermos um pouco diferente, o resultado sai correto.

y<=(2+y)/y,  y^2<=2+y, desenvolvendo-se essa equação, chega-se em que x varia de 1/3 a 9.

Porém, não entendi porque a desigualdade muda ou não, pois não se pode saber se y é positivo ou negativo.

Basicamente, é somente o y no denominador que altera o resultado.

O que tem errado com o meu raciocínio que está me levando ao erro?


Obrigado.

Muito confusa a sua solução:

x^log₃x =< 9.x ---> Fazendo log₃x = y ---> x = 3^y

 (3^y)^y =< 9.3^y

3^y² =< 3².3^y

3^y² =< 3^{y + 2}

y² =< y + 2 ---> y² - y - 2 =< 0 ---> Raízes y = - 1 e y = 2 

A função é uma parábola com a concavidade voltada para cima: ela é negativa entre as raízes ---> - 1 =< y =< 2

a) log₃x = y ---> log₃x = - 1 ---> x = 3-¹ ---> x = 1/3  

b) log₃x = y ---> log₃x = 2 ---> x = 3² ---> x = 9 ----> 1/3 =< x =< 9  

Oi Elcioschin,

desenvolvi da seguinte maneira:

x^(log_(3)(x)<=9x  -->>

 log_(x)(x^(log_(3)(x)<=log_(x)(9x)

A base era X e o logaritmando também.

log_(3)(x)<=log_(x)(9)+log(x)(x)  -->>

log_(3)(x)<=log_(x)(9)+1

Agora eu mudo a base para 3:

log_(3)(x)<=(log_(3)(9))/(log_(3)(x))+1

log_(3)(x)<=(2/(log_(3)(x))+1

Agora, chamo y=log_(3)(x)

y<=(2/y)+1

Passo os membros para esquerda, o que dará uma inequação quociente.


Bem, no final, a solução será:

(0, 1/3]
(1, 9]


Não posso postar links externos, mas aconselho que coloque a equação no Wolfram Alpha, e veja como os dois resultados estão
certos, porém não sei o porquê:

log_(3)(x)<=(2/(log_(3)(x))+1

log(x^(log_(3)(x))<=log9x 

Apliquei log antes, pois o Wolfram não executa do modo normal.

A partir do momento em que se começa a usar logaritmos para manipular a expressão, ela apresenta esse "espaço" no resultado.

Ao se escrever a equação do começo no Wolfram, ela apresenta o resultado que você citou, realmente
não entendo o que acontece ou se fiz algum passo errado.


Muito obrigado.

Olá Elcioschin,
descobri, o problema é que eu apliquei log de base X na inequação, o que muda tudo, já que não se pode saber X, então a desigualdade pode mudar ou não.
Era só usar logs de bases conhecidas para manipular a expressão e seguir o raciocínio de mudar ou não a desigualdade dependendo a base.

Mas esse jeito de substituição que usou, é definitivamente melhor e mais prático.