Dúvida matemática(logaritmo)

por Convidado Qua 31 Dez 2014, 18:03

O número de bactérias em uma cultura, inicialmente igual a 100, tem aumentado cerca de 10% a cada hora. Usando log11 na base 10 = 1,04, se preciso, calcula-se que o número de bactérias ultrapassará 10.000 em cerca de :
01) 90 horas
02) 80 horas
03) 70 horas
04) 60 horas
05) 50 horas

por **jango feet** Qua 31 Dez 2014, 18:22

Pelo descrito no enunciado, temos matematicamente:

P(t)=1,1^t.Po

Impondo a condição:
P(t)>1000
obtemos:
1,1^t.100>10,000...1,1^t>100
Aplicando logaritmo nos dois lados:
t.log(11/10)>2...t.(1,04-1,00)>2...t=60

por Convidado Qua 31 Dez 2014, 18:35

no gabarito a resposta é 50 horas. Quem souber uma maneira sem precisar usar log, agradeço Smile

por **Carlos Adir** Qua 31 Dez 2014, 19:21

0 horas --> 100
1 horas --> 110
2 horas --> 121
3 horas --> 133,1
...

$\\ log_{10}11=1,04 \Rightarrow log_{11} 10 \cdot log_{10}11=1 \Rightarrow\\ log_{11}10=\dfrac{1}{1,04}=0,96$

Deste modo, sabemos que o número de bactérias obedece:
P(t)=100 (1,1 ^t)
Supomos que dê 10.000, exatos, então:
10.000=100 (1,1^t)
100 = 1,1^t
100 = (11^t)/(10^t)
100 (10^t) = 11^t
10^(t+2)=11^t
$\\ log_{10}11^t=t+2 \Rightarrow t \cdot log_{10}11=t+2 \Rightarrow 1,04 t-t=2 \\ t=\dfrac{2}{0,04} \Rightarrow t=50$

Ou seja, depois de 50 horas, tem-se que o número de bactérias será de 10.000