As sombras das velas

[Renato Brito] No instante inicial, duas velas tinham comprimentos iguais a "h" e estavam dispostas entre duas paredes verticais, distanciadas de acordo com a figura. Sabendo quea vela 1 é totalmente consumida em um tempo t1 e a vela 2 é totalmente consumida numtempo t2, determine a velocidade das sombras das velas na parede esquerda e na parede direita.

Essa questão é semelhante à questão do livro da Saraeva.
Se sabemos a altura inicial das velas, e o tempo em que cada uma queima, então:


Seja um tempo chamado t_3, aleatório, e que a t_1 < t_2, isto é, a vela 1 queima mais rapido que a vela 2.
Então, em um determinado t_3, temos o seguinte:



Determinemos então alguns valores, para não falarmos toda hora em segmentos.






Por semelhança de triângulos, podemos estabelescer algumas relações:


Certo, agora depois de termos os dados, queremos descobrir a velocidade da parede esquerda e da direita, então chamaremos de v_3 a velocidade da sombra na esquerda e v_4 a velocidade da sombra na direita.
Nosso objetivo é obtermos o valor de v_3 e v_4 em função de h, a, b, c, t_1, t_2:

Então devemos descobrir os valores de x_1, x_2, x_3 e x_4:



Logo, sabemos x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, podemos então descobrir o valor v_3 e v_4:








Logo, já temos as velocidades:



Espero que entenda.
Tive dificuldade porque eu não consegui fazer de primeira(no livro da Saraeva), olhei a resposta e não pratiquei, mas está ai.


EDIT: Correção de Cálculos.

Encontrei um resultado ligeiramente diferente sobre a parede esquerda. Confiram e digam o que pensam.

Olá Carlos,
No livro do Renato Brito tem a resolução, mas eu não consegui entendê-la. A minha dúvida é quanto ao desenho desse instante ali, porque eu não consigo entender isso aí com as sombras. Afinal, não há a sombra das duas velas? E, mesmo considerando só uma delas, tudo bem uma estar abaixo da outra, mas por que as sombras "acompanham o ângulo"? 

Quanto ao processo de resolução depois que já se tem o esquema pronto eu entendi. Acho mais fácil resolver fazendo uma continuação das linhas pontilhadas horizontais, marcar no esquema os valores das distâncias e então fazer semelhança de triângulos assim, sendo v3 a sombra da esquerda:
(a+b)/((v3-v2).t) = (b)/((v1-v2).t) 
e assim, sendo v4 a sombra da direita:
(b+c)/((v1-v4).t) = (c)/((v2-v4)t)
Daí considerando que v1= h/t1 e v2= h/t2, basta substituir e isolar v3 e v4. 
Mas o meu problema mesmo, é como deduzir esse esquema, rs.

Segue aí as resoluções do Renato Brito:

Será que tu não errou um sinal? 
Por exemplo, o teu v_y difere do meu no seguinte:






O sistemas de velas é pra indicar que sai de cada ponto da vela, uma fonte de luz.
Quando a vela 2 ilumina a "vela 1 apagada", forma a sombra esquerda.
Quando a vela 1 ilumina a "vela 2 apagada", forma a sombra direita.

Carlos Adir escreveu:

Será que tu não errou um sinal? 
Por exemplo, o teu v_y difere do meu no seguinte:






O sistemas de velas é pra indicar que sai de cada ponto da vela, uma fonte de luz.
Quando a vela 2 ilumina a "vela 1 apagada", forma a sombra esquerda.
Quando a vela 1 ilumina a "vela 2 apagada", forma a sombra direita.

Carlos, veja que meu resultado bateu com a resposta do livro. Só uma pequena correção, ali é -at₁ e não -at₂ como acabei escrevendo. Bem ali na resposta final destacada na foto.

rrrjsj36 escreveu:Olá Carlos,
No livro do Renato Brito tem a resolução, mas eu não consegui entendê-la. A minha dúvida é quanto ao desenho desse instante ali, porque eu não consigo entender isso aí com as sombras. Afinal, não há a sombra das duas velas? E, mesmo considerando só uma delas, tudo bem uma estar abaixo da outra, mas por que as sombras "acompanham o ângulo"? 

Quanto ao processo de resolução depois que já se tem o esquema pronto eu entendi. Acho mais fácil resolver fazendo uma continuação das linhas pontilhadas horizontais, marcar no esquema os valores das distâncias e então fazer semelhança de triângulos assim, sendo v3 a sombra da esquerda:
(a+b)/((v3-v2).t) = (b)/((v1-v2).t) 
e assim, sendo v4 a sombra da direita:
(b+c)/((v1-v4).t) = (c)/((v2-v4)t)
Daí considerando que v1= h/t1 e v2= h/t2, basta substituir e isolar v3 e v4. 
Mas o meu problema mesmo, é como deduzir esse esquema, rs.

Ele assume que após um tempo qualquer t, a posição das velas estará daquela forma. A sombra da vela 1 é responsabilidade da luz da vela 2 e vice-versa.
As sombras acompanham o ângulo pois a velocidade das velas é constante. E a resolução se dá por semelhança de triângulos.

Corrigido. Na pressa de fazer as coisas na pressa, engoli calculos e errei sinais. Contudo, agora está correto.
Acabou-se a dúvida rrrjsj36 ?
Para melhor compreensão, fiz um arquivo no geogebra, podes brincar com as variáveis e ver como funciona.
Velas

Sim, consegui entender, muito obrigado aos dois pela ajuda!