Quadrado Perfeito

Dado um número, calculemos o seu quadrado e adicionemos 1 à soma dos algarismos deste quadrado, obtendo assim um novo número. Se começarmos com o número 7 obteremos, no primeiro passo, o número 1+(4+9)=14, uma vez que 7²=49. Que número obteremos no 1999º passo?

R:5

Olá.

7² = 49 --> S+1 = 4+9+1 = 14
14² = 196 --> S+1 = 1+9+6+1 = 17
17² = 289 --> S+1 = 2+8+9+1 = 20
20² = 400 --> S+1 = 4+0+0+1 = 5
5² = 25 --> S+1 = 2+5+1 = 8
8² = 64 --> S+1 = 6+4+1 = 11
11² = 121 --> S+1 = 1+2+1+1 = 5
5² = 25 --> S+1 = 2+5+1 = 8
8² = 62 --> S+1 = 6+4+1 = 11

Aqui já começamos a repetir. Tivemos 3 números sem nenhum padrão e após isso começou a sequência (5,8,11), (5,8,11)

Veja que:

1999 - 3 = 1996 (tiramos os 3 números sem padrão) e que 1996 = 665*3 + 1, ou seja, teremos 665 trios - (5,8,11) - e mais 1, ou seja, iremos parar no número 121, cuja soma dos algarismos vale 5.

Att.,
Pedro

1º --> 14
14² = 196
1 + (1+9+6) = 17
17² = 289
1 + (2+8+9) = 20
20² = 400
1 + (4 + 0 + 0 ) = 5
5² = 25
1 + (2+5) = 8
8² = 64
1 + (6+4) = 11
11² = 121
1 + (1+2+1) =  5
então a partir do 4º passo a sequência é periódica, (5,8,11,5,8,11,5,...)
Então basta encontrar o resto de 1995 na divisão por 3, que é nulo. Logo, obtém-se o número 5.

Obrigado Pedro e Luck!