Quadrado Perfeito

por Maurizio10 Dom 14 Jul 2019, 15:51

CANGURU 2009

Qual é a menor quantidade de números que devem ser removidos do conjunto {1, 2, 3, . . . ,16} de modo que a soma de dois quaisquer dos números restantes não seja um quadrado perfeito?

[size=14]
[size=14][size=15]a.

8

b.

9

c.

11

d.

13

e.

14

GABARITO: 8

Eu tentei fazer essa questão (e refiz várias vezes), mas encontrei o resultado 13. Alguém poderia me ajudar a desenvolver o raciocínio dela? Como os números são de 1 a 16, a soma máxima seria 16+ 15 = 31, o que poderia dar no máximo em 5 quadrados perfeitos, como 1, 4, 9, 16, 25. Mas não consegui resolver.
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por radium226 Dom 14 Jul 2019, 18:10

a+b=4 (1,3);(2,2);(3,1)

a+b=9 (1, Cool

;(2,7);(3,6);(4,5);(5,4);(6,3);(7,2);(8,1)

a+b=16 (1,15)(2,14);(3,13);(4,12);(5,11);(6,10);(7,9);(8, Cool

;(9,7);(10,6);(11,5);(12,4);(13,3);(14,2);(15,1)

a+b=25 (9,16);(10,15);(11,14);(12,13);(13,12);(14,11);(15,10);(16,9)
Acho que agora é tentativa e erro, você precisa tirar a menor quantidade de números de modo que todas esses pares ordenados não sejam possíveis.

por **Elcioschin** Dom 14 Jul 2019, 23:41

Possibilidades da soma de dois números dar um quadrado perfeito (4, 9, 16, 25):

1 + _3 = 4
1 + _8 = 9
1 + 15 = 16

2 + _7 = 9
2 + 14 = 16

3 + _6 = 9
3 + 13 = 16

4 + _5 = 9
4 + 12 = 16

5 + 11 = 16
6 + 10 = 16
7 + _9 = 16
9 + 16 = 23

Devemos retirar os números 1, 2, 3, 4 (4 números)
Devemos retirar também 1 número de cada um dos quatro últimos casos (4 números)
4 + 4 = 8

por Edu lima Dom 14 Jul 2019, 23:54

Combinando o número 1 com os demais, fica:

1+3=4
1+8=9
1+15=16

Combinando o número 2, fica:

2+7=9
2+14=16

Combinando o 3, fica:

3+6=9
3+13=16

Combinando o 4, fica:

4+5=9
4+12=16

Combinando o 5, fica:

5+11=16

Combinando o 6, fica:

6+10=16

Combinando o 7, fica:

7+9=16

Combinando o 9, fica:

9+16=25

Os demais não precisa, já que suas combinações vão gerar números repetidos com as combinações apresentadas a acima.

Logo, se esses números (1,2,3,5,9,10,12,14) forem retirados, os demais que sobrar não forma um quadrado perfeito.

Com isso, vai ter 8 números que não podem ser retirados, pois se for, o restante não forma um quadrado perfeito quando somado com quaisquer um outro.