Probabilidade e aniversário

a) Em um grupo de cinco pessoas, qual é a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo mês?
b) Em um grupo de vinte pessoas, qual é a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?






Não tenho gabarito  \:

a) Considerando o espaço amostral dos aniversários possíveis para cada pessoa, tem-se que a probabilidade de que pelo menos duas pessoas façam aniversário no mesmo mês mais a probabilidade de que nenhuma pessoa faça aniversário no mesmo mês é igual a 1.
Assim, podemos usar uma ideia subtrativa. Calculamos a probabilidade de que nenhuma pessoa faça aniversário no mesmo mês (Seja P(B) essa probabilidade) e executamos  P(A) = 1 - P(B) para calcular a probabilidade P(A) pedida.

Considere o conjunto C = {1,2,...,12}. Associando-se um mês do ano a cada número, o problema é equivalente a montar subconjuntos de C (que podem ter elementos repetidos para o espaço amostral) de tal modo que eles não contenham nenhum elemento repetido.

Usando arranjo (já que uma permutação de uma config. de aniversário é outra configuração de aniversário), isto pode ser feito de A(12;5).

O tanto de elementos do espaço amostral é 12^(5).


Assim, P(B) = A(12;5)/[12^(5)] =>
=> P(A) = 1 - [A(12;5)/(12^(5))].

Deixo o outro item contigo.

Não entendi o que você fez aqui:

"Podemos contar o tanto de elementos do espaço amostral usando combinações completas:
C(12 + 5 - 1; 4) = C(16; 4)"

Combinações completas contam o tanto de modos de escolher 'k' elementos de um conjunto de 'n' elementos podendo-se tomar elementos repetidos.
CR(n,k) = C(n + k - 1; k).

Em termos gerais, você poderia me explicar a diferença entre a combinação simples e a combinação completa? Quando se usa uma ou outra?

Acabei de perceber que não era necessário usar comb. completa pelo mesmo motivo que eu dei para usar arranjo: uma permutação de uma configuração de aniversário é outra configuração de aniversário.

Ou seja, bastava fazer 12^(5) para contar o tanto de casos possíveis no espaço amostral (vou editar ali em cima).

Mas vale o aprendizado:

Combinações completas contam o tanto de modos de escolher 'k' elementos de um conjunto de 'n' elementos podendo-se tomar elementos repetidos.

Combinações simples contam o tanto de modos de escolher 'k' elementos de um conjunto de 'n' elementos não podendo tomar elementos repetidos.

Exemplo: Considere um conjunto
C = {1,2,...,n}.

Quando se conta o tanto de conjuntos de 'k' elementos que se pode obter de C sendo válida a retirada de elementos repetidos é possível retirar subconjuntos como: A = {2,2,3,4,5,7,7,7,...}, desde que ele tenha 'k' elementos.

Já quando quando se conta o tanto de conjuntos de 'k' elementos que se pode obter de C não sendo válida a retirada de elementos repetidos só é possível retirar subconjuntos como B = {3,4,5,7,9,12,...}, ou seja, sem nenhum elemento repetido e com 'k' elementos.

Obrigada pela explicação!