Mesa de bilhar

Jogar bilhar para muitos é pura diversão, porém para
aqueles mais observadores é uma bela aula de geometria
plana. Durante o jogo, cada vez que uma bola bate numa
tabela, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Assim quem conhece essa propriedade leva uma enorme
vantagem no jogo.
Na mesa de bilhar representada na figura, existe uma bola
em A, que deverá ser lançada na caçapa em D. Porém,
devido à obstrução gerada pela localização de outra bola
em P, o jogador deverá usar todo o seu conhecimento de geometria plana e o seu talento para,
com uma só tacada, encaçapar a bola que está em A na caçapa D. Para isso, ele usa os pontos
B e C, indicados na figura, como referencial, para descrever a trajetória ABCD.
Sabendo-se que BA é uma bissetriz externa e que DA , uma bissetriz interna do triângulo BCD,
é correto afirmar que a medida do ângulo DÂB, em radianos, é:

a) pi/12
b) pi/8
c) pi/6
d) pi/4
e) pi/3

Segundo a imagem acima, 3x = 180 -> x =60

As retas DB e aquela que contem o C são paralelas, portanto 2x + s =180 -> s =60

Vendo o triangulo CDB a soma do angulo externo é igual a soma dos ângulos não adjacentes:

 2L + x = 180 - s
 2L + 60 = 180 - 60
 L = 30

Vendo o triangulo DAB
L +∝ + 2x = 180
30 + ∝ + 2(60) = 180

∝  = 30º


transformando:

∝ = pi/6

Trace AB, BC e CD 

Seja CE perpendicular a BD no ponto E
Seja BÂD = x
Seja O o ponto de encontro de AD com BC
Sejam B, C, D os ângulos internos do triângulo BCD
Seja F a caçapa inferior direita

C^DO = B^DO = D/2
B^CE = D^CE = C/2

∆ BCD ---> B + C + D = 180º ---> I
∆ retângulo BEC --->  B + C/2 = 90º ---> C = 180º - 2B ---> II

II em I ---> B + (180º - 2B) + D = 180º ---->D = B

∆ CBD é isósceles ---> CD = CB ---> Além disso CBD é equilátero ---> B = C = D = 60º

CBF = 180º - B ---> CBF = 120º

AB é bissetriz de CBF ----> A^BO = CBF/2 ---> A^BC = 60º

∆ CDO ---> C + D + CÔD = 180º ---> C + B + CÔD = 180º ---> CÔD = 60º


∆ ABD ---> A^DB + BÂD + A^BD = 180º ---> 30º + x + 120º = 180º ---> x = 30º 

BieelsZaitsev, sei que BA é uma bissetriz então divide o ângulo ao meio mas porque posso afirmar que o terceiro ângulo à esquerda de BC também é x?

"ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão"